Prévision des séismes par gravimétrie

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Sujet zéro
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Prévision des séismes par gravimétrie
 
 

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

13

Comprendre

pchT_1200_14_04C

 

Sujet zéro

Exercice 1 • 10 points

L’usage d’une calculatrice est autorisé.

La prévision des séismes demeure un défi majeur pour les géophysiciens. Une nouvelle voie de recherche utilisant la gravimétrie pourrait prédire les tremblements de terre à moyen terme (2-3 ans). En effet, des études scientifiques ont mis en évidence une variation anormale du champ de pesanteur local précédant le déclenchement d’un séisme. Pour cela, il est nécessaire d’avoir à disposition un instrument qui permette une mesure suffisamment précise de la valeur g du champ de pesanteur local ; c’est le rôle du gravimètre dont le fonctionnement est étudié ci-après.

1. Mesure de g et prévision des séismes

Des chercheurs ont réalisé des mesures répétées de g dans différentes régions de la Chine entre 1998 et 2005 à l’aide de gravimètres. Ils ont constaté une variation sensible de g avant le déclenchement d’un séisme dans une de ces régions.

Le Gal est une unité d’accélération : 1 Gal = 1 cm · s−2. Cette dénomination évoque le nom du célèbre physicien italien Galilée. Les mesures sont rassemblées dans le tableau suivant :

Document 1

Séismes d’envergure (magnitude supérieure à 6,8) ayant eu lieu en Chine entre 2001 et 2008 et variations de gravité observées entre 1998 et 2005

 

Lieu du séisme (province)

Magnitude

Date du séisme

Variation de gravité Δg (en µGal)

Kunlun (Xinjiang)

8,1

14 nov. 2001

130

Côte Est de Taïwan

7,5

31 mars 2002

80

Wangqing (Jilin)

7,2

29 juin 2002

60

Jashi (Xinjiang)

6,8

24 fév. 2003

60

Frontière entre Chine et Russie

7,9

28 sep. 2003

60

Gaizhe (Tibet)

6,9

9 jan. 2008

80

Yutian (Xinjiang)

7,3

21 mars 2008

90

Wenchuan (Sichuan)

8,0

12 mai 2008

130

 

1 Citer un domaine de recherche dans lequel s’est illustré Galilée. (0,25 point)

2 D’après vos connaissances, donner une estimation de la valeur de g en m · s–2. (0,25 point)

3 Donner la variation de gravité en m · s−2 qui a précédé le séisme survenu à Wangqing en 2002. (0,5 point)

4 Sachant que l’incertitude sur les mesures de g par cette méthode est de 1 × 10−8 m · s−2, en déduire g avec un nombre de chiffres significatifs. (0,5 point)

2. Principe de fonctionnement d’un gravimètre

Un gravimètre est un appareil permettant de déterminer la valeur g du champ de pesanteur. Une des méthodes consiste à mesurer l’accélération d’un corps qui chute en l’absence de tout frottement. Pour cela, on lâche un objet et on mesure le temps qu’il met pour parcourir une certaine distance.

Dans le dispositif étudié, un miroir tombant de masse m, enfermé dans une chambre à vide, est lâché sans vitesse initiale, à la position z= 0 (voir figure 1). Un faisceau laser est envoyé sur une lame semi-réfléchissante qui le sépare en deux au point A (voir figure 1). Une partie de ce faisceau la traverse et atteint directement le détecteur (trajet S-A-D). L’autre partie est réfléchie vers le miroir tombant puis poursuit son trajet jusqu’à atteindre à son tour le détecteur (trajet S-A-B-A-C-A-D). Les deux parties du faisceau interfèrent au niveau du détecteur.

Le laser utilisé a une longueur d’onde λ = 632,991357 nm dans l’air connue avec une grande précision.


 

Figure 1. Principe de fonctionnement du gravimètre

1 Quel est l’intérêt de la chambre à vide dans ce dispositif ? (0,5 point)

2 On appelle z la position verticale du miroir tombant. Montrer que son mouvement est décrit par l’équation horaire z(t)=12gt2. (1,5 point)

3 Quelles sont les deux grandeurs physiques qu’il faudrait mesurer pour accéder à la valeur g du champ de pesanteur local ? (0,25 point)

3. Mesure de g à l’aide du gravimètre

Afin de mesurer avec une certaine précision la valeur de g, on utilise une méthode interférométrique. Au cours de la chute du miroir, le détecteur enregistre l’évolution temporelle de l’intensité lumineuse I résultant des interférences des deux faisceaux reçus au point D (voir figure 2).


 

Figure 2. Évolution temporelle de l’intensité lumineuse I
rapportée à l’intensité maximale Imax

1 À quoi est dû le phénomène d’interférence ? (0,5 point)

2 Que peut-on dire de l’intensité reçue par le détecteur lorsque les deux faisceaux interfèrent de manière destructive ? et de manière constructive ? (0,5 point)

3 Soit Δt = t2 – t1t2 et t1 représentent respectivement les durées des trajets lumineux S-A-B-A-C-A-D et S-A-D. Choisir parmi les propositions suivantes, l’expression de Δt lorsque les deux faisceaux interfèrent en D de manière destructive.

a)kT

b) kT2

c) (2k+1)T2

d) (2k+1)T

avec k entier, et T période de l’onde émise par le laser. (0,25 point)

4 Dans la suite, on admettra que la distance Δz parcourue par le miroir tombant pendant l’intervalle de temps séparant deux interférences destructives consécutives vaut λ2 ou λ désigne la longueur d’onde du laser.

1. Compléter le texte à trous suivant qui justifie la phrase qui précède, en indiquant sur la copie l’expression correspondant à chaque lettre. (0,75 point)

La durée t1 du trajet S-A-D est constante. Pour une variation de hauteur du miroir tombant de Δz, la durée t2 du trajet S-A-B-A-C-A-D varie de …a)… à cause de l’aller-retour A-B-A du rayon lumineux. Entre deux interférences destructives consécutives, Δt =t2t1 varie de …b)… On en déduit donc que Δz=c)

2. Le miroir parcourt pendant sa chute une distance d= 20 cm. Choisir parmi les propositions suivantes la valeur estimée du nombre d’interférences destructives détectées. Justifier la réponse par un calcul. (0,5 point)

a) 6 × 105

b) 6 × 10–6

c) 6 × 107.

5 Pourquoi les interférences destructives sont-elles de plus en plus rapprochées dans le temps (voir figure 2) ? (0,5 point)

6 On appelle tn la date de détection de la nième interférence destructive, mesurée avec une grande précision grâce à une horloge atomique. En exploitant les résultats expérimentaux du document 2 et l’équation horaire du mouvement du miroir, déterminer la valeur de g avec la meilleure précision possible. (1 point)

Document 2

Tableau des dates de détection de quelques interférences destructives

 

nième interférence destructive

tn (en s)

0

0

1

2,540 333 14 × 10−4

2

3,592 573 58 × 10−4

3

4,399 986 07 × 10−4

1 000

8,033 238 750 × 10−3

10 000

2,540 333 143 8 × 10−2

 

4. Étude du capteur

Le détecteur est équipé d’une photodiode. Les documents 3 et 4 donnent quelques caractéristiques des photodiodes InGaAs G8931-04 et Si S10341-02.

1 Quel type de conversion effectue la photodiode ? (0,25 point)

2 À quel domaine spectral appartient la radiation du laser utilisé ? (0,25 point)

3 En comparant les réponses spectrales de ces deux composants (voir document 3), quelle est la photodiode utilisée dans le gravimètre ? ­Justifier la réponse. (0,5 point)

4 Le capteur détecte les dix mille premières interférences destructives en 25 ms (voir document 2). Estimer la durée moyenne entre deux interférences destructives consécutives. (0,5 point)

5 On définit le temps de réponse d’un capteur comme le temps minimal qu’il met pour suivre l’évolution temporelle de la grandeur mesurée. Le temps de réponse est environ égal à l’inverse de la fréquence de coupure. À l’aide de ses caractéristiques, données en document 4, en déduire si la photodiode choisie est adaptée à ce type de mesures. (0,75 point)

Document 3

Réponse spectrale de deux photodiodes


 

a. Réponse spectrale de la ­photodiode InGaAs G8931-04

b. Réponse spectrale de la ­photodiode Si S10341-02

Document 4

Caractéristiques techniques de la photodiode choisie

 

Package

Plastic

Package Feature

Surface mount type

Active Area

dia.0,2 mm

Spectral Response Range

400 to 1 000 nm

Peak Wavelength

800 nm

Photo Sensitivity at peak

0,5 A/W

Breakdown Voltage

150 V

Temperature Coefficient of VBR

0,65 V/deg. C

Dark Current Max.

0,5 nA

Cut-off Frequency

1 000 MHz

Terminal Capacitance

1 pF

Gain

100

 

D’après le site Internet du constructeur Hamamatsu.

Notions et compétences en jeu

Maîtriser la loi de gravitation • Connaître le mouvement en chute libre, la deuxième loi de Newton • Connaître l’intégration • Connaître le phénomène des interférences • Connaître le fonctionnement du laser et des capteurs.

Les conseils du correcteur

Partie 2

2 Attention à bien démontrer cette relation, c’est-à-dire ici à faire une étude rigoureuse de la chute libre. Vous devez faire l’étude complète du problème : de l’inventaire des forces à l’équation du mouvement. Ne négligez aucune étape. La structure de la démonstration est à retenir :

  • Bilan des forces
  • Deuxième loi de Newton
  • Projection de cette loi vectorielle sur un ou plusieurs axes du repère
  • Intégration pour obtenir la vitesse du système
  • Identification de la constante d’intégration à partir des conditions expérimentales (souvent initiales)
  • Nouvelle intégration pour obtenir la position du système
  • Nouvelle identification de la constante d’intégration à partir des conditions expérimentales (souvent initiales)

Partie 3

2 Pour avoir des interférences constructives, il faut que les deux ondes soient en phase, c’est-à-dire que leurs maxima d’intensité soient toujours synchrones.

Partie 4

5 Le programme officiel prévoit la possibilité de donner les « textes de vulgarisation et les textes scientifiques en français et éventuellement en langue étrangère ». Entraînez-vous sur votre manuel, qui contient des exercices en anglais.

Pour rappel, voici la traduction de quelques mots utilisés dans le tableau du document 4 : package feature : caractéristique de l’enveloppe ; spectral response range : étendue de la réponse spectrale ; surface mount type : type de montage de surface ; dark current max. : maximum du courant de fuite en mode fermé ; terminal capacitance : capacité de borne.

Corrigé

1. Mesure de g et prévision des séismes

1 Culture générale

Galilée est le premier à avoir étudié scientifiquement la chute des corps : c’est lui qui exprime correctement la loi du mouvement uniformément accéléré et il franchit ainsi une étape essentielle dans la compréhension du principe d’inertie ; ce qui mènera Newton, quelques années plus tard, à formuler la première loi du mouvement. En ce sens, il est considéré comme le fondateur de la mécanique.

Il s’est aussi distingué dans l’observation des astres en perfectionnant la lunette astronomique : il découvre ainsi les quatre principaux satellites de Jupiter, premiers corps célestes ne tournant pas autour de la Terre, il observe les taches solaires et découvre les montagnes de la Lune par l’étude des ombres qu’elles projettent.

2 Connaître la valeur
de l’accélération de la pesanteur

 

Info

La valeur de g varie légèrement selon le lieu terrestre où on la mesure. Elle dépend entre autres de la latitude, et elle est plus forte aux pôles (9,83) qu’à l’équateur (9,78) ; elle varie aussi en fonction de l’altitude, et est plus faible en haut de l’Everest (9,78) qu’au niveau de la mer.

g est l’accélération de la pesanteur terrestre et a pour valeur g= 9,8 m · s–2 environ.

3 Extraire des données d’un tableau

D’après le tableau, on a ∆g= 60 mGal = 60 · 10−6 Gal.

Or 1 Gal = 1 cm · s−2 donc ∆g= 6,0 · 10–7 m · s−2.

4 Discuter de la précision d’un résultat

L’incertitude sur g étant de 10−8 m · s−2, la valeur de g est donc donnée avec 8 décimales. Il faut alors mesurer g avec 9 chiffres significatifs.

2. Principe de fonctionnement d’un gravimètre

1 Extraire des informations d’un texte

D’après le texte, le gravimètre sert à « à mesurer l’accélération d’un corps qui chute en l’absence de tout frottement ». Pour ne pas avoir de frottement au cours d’un mouvement, il faut que ce mouvement se fasse en l’absence même d’air, d’où la nécessité de la chambre à vide du dispositif.

2 Étude du mouvement de chute libre

  • Pour arriver à établir l’équation horaire du mouvement de chute, il faut appliquer la seconde loi de Newton.
 

Important

Toute étude mécanique en lycée se fait dans un référentiel galiléen, vous devez toujours préciser le système que vous étudiez et le référentiel dans lequel vous faites votre étude, en précisant qu’il est galiléen ou approximé comme l’étant.

Le système étudié est le miroir tombant. On étudie ce mouvement dans un référentiel terrestre lié au laboratoire ; il est considéré comme galiléen et l’on peut alors appliquer la seconde loi de Newton pour cette étude.

  • Le mouvement s’effectue dans le vide donc le poids du système

    P=mg

    est la seule force appliquée au système.

Application de la seconde loi de Newton

P=dpdt avec p=mv, quantité de mouvement du miroir.

  • En projetant cette relation sur l’axe Oz vertical descendant, on obtient :

mg=d(m·vz)dt. Or m est une constante et peut « sortir » de la dérivée, donc mg=md(vz)dt. De plus, la vitesse est la dérivée de la position donc d(vz)dt=d2zdt2 d’où, après simplification par m, on a d2zdt2=g.

  • On intègre alors membre à membre par rapport au temps.

On obtient dzdt=gt+C1C1 est une constante.

Or, à t= 0, dzdt(0)=0 ; on détermine ainsi la constante d’intégration C1= 0 et on a dzdt=gt.

  • Une nouvelle intégration par rapport au temps permet de déterminer l’altitude z en fonction du temps :

    z(t)=12gt2+C2

    , C2 étant une constante que l’on peut déterminer à l’aide des conditions initiales : à t = 0, z(0)= 0 donc C2= 0.

On en déduit l’équation horaire cherchée : z(t)=12gt2.

3 Déduire les grandeurs physiques pertinentes dans une expérience

D’après le résultat de la question 2, il faudrait mesurer l’altitude et le temps de chute du miroir pour pouvoir déduire la valeur de g.

3. Mesure de g à l’aide du gravimètre

1 Connaître les conditions d’obtention du phénomène d’interférence

Le phénomène d’interférence est toujours dû à la superposition de plusieurs ondes. Dans cette expérience, il s’agit d’ondes lumineuses émises par un laser qui se superposent après avoir effectué deux trajets différents, l’une faisant le trajet S-A-D et l’autre le trajet S-A-B-A-C-A-D.

2 Connaître la définition des interférences destructives et constructives

Pour des interférences destructives, l’intensité reçue par le récepteur est nulle alors que pour des interférences constructives, elle est maximale.

3 Connaître les conditions d’obtention du phénomène d’interférence

Les ondes se superposant lors d’interférences destructives sont en opposition de phase, donc on doit avoir (2k+1)T2, c’est-à-dire la réponse c).

41. Connaître les conditions d’obtention du phénomène d’interférence

La durée t1 du trajet S-A-D est constante. Pour une variation de hauteur du miroir tombant de Δz, la durée t2 du trajet S-A-B-A-C-A-D varie de a) Δt= 2×Δzc à cause de l’aller-retour A-B-A du rayon lumineux. Entre deux interférences destructives consécutives, Δt=t2t1 varie de b) T. On en déduit donc que c) Δz=λ2.

a) Lorsque le miroir tombe d’une distance Δz alors la distance parcourue par le laser varie de 2Δz car la lumière effectue un aller-retour quand elle est réfléchie par le miroir (trajet A-B-A). Or la vitesse de la lumière est constante, et vitesse=distancetemps. On a alors la variation de la durée Δt, qui est donnée par

Δt = variationdeladistanceparcouruevitessedelalumière=2Δzc.

b) D’après la question 33., on a une interférence destructive lorsque Δt=(2k+1)T2. Pour avoir la différence entre les Δt de deux interférences consécutives, il faut prendre k et k + 1. On obtient alors :

Δtk+1Δk=(2(k+1)+1)T2(2k+1)T2=2×T2=T.

c) La différence de temps entre deux interférences consécutives est donc T et elle est égale à 2×Δzc. On a alors Δz=cT2. Or cT= λ donc Δz=λ2.

2. Calculer la répétition d’un phénomène

La longueur d’onde du laser est de 632 nm donc 6,32 · 10–7 m donc 12λ= 3,16 · 10–7 m.

En 20 cm, on peut donc s’attendre à obtenir 20·1023,16·107 soit 6 · 105 interférences.

Donc c’est la réponse a).

5 Comprendre les paramètres d’un phénomène

Le miroir tombe en accélérant, donc sa vitesse augmente. La durée nécessaire pour parcourir la distance λ2 est donc de plus en plus courte. Les interférences destructives sont donc de plus en plus rapprochées dans le temps.

6 Déduire la valeur d’une constante
à partir de données expérimentales précises

Pour la nième interférence, on a Δz=zn(t)z(0)=n×λ2.

D’après la réponse à la question 22. zn(t)=12gtn2.

D’où 12gtn2=n×λ2

g=nλtn2=1 000×λ(2,5403331438·102)2=9,80881246 m · s–1.

4. Étude du capteur

1 Savoir ce qu’est un convertisseur d’énergie

La photodiode est une diode qui est passante ou bloquante suivant la lumière qu’elle capte. C’est donc un capteur qui transforme la lumière en électricité : il s’agit d’un convertisseur lumière/électricité.

2 Connaître les différents domaines du spectre électromagnétique

La lumière émise par le laser a pour longueur d’onde 632 nm, il s’agit donc d’une radiation visible puisqu’elle est comprise entre 400 nm et 800 nm.

3 Interpréter un graphique explicatif du constructeur

La photodiode du document 3 a) a une sensibilité maximale vers 1 500 nm (elle est sensible à la lumière comprise entre 900 et 1 700 nm) alors que celle du document 3 b) a une sensibilité maximale vers 800 nm avec une fenêtre de sensibilité comprise entre 400 et 1 000 nm. La deuxième est donc plus adaptée pour capter la lumière du laser (à 632 nm).

4 Interpréter une donnée du constructeur

Le capteur détecte 10 000 interférences en 25 ms donc la durée moyenne entre deux interférences est 25·10310000=2,5·106s.

5 Interpréter les données du constructeur

D’après le document 4, la fréquence de coupure est de 1 000 MHz. Elle est égale, d’après l’énoncé, à l’inverse du temps de réponse du capteur.

Donc le temps de réponse du capteur est 11000·106=1,000·109s.=1,000 ns, ce qui est bien plus court que la durée entre deux interférences (2,5 · 10−6s).

La photodiode est donc suffisamment rapide pour capter toutes les interférences.