Principe de fonctionnement d’un GPS

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : France métropolitaine
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Principe de fonctionnement d’un GPS
 
 

Temps, mouvement et évolution

Corrigé

18

Comprendre

pchT_1306_07_01C

 

France métropolitaine • Juin 2013

Exercice 2 • 10 points

Allure des orbites des satellites GPS

 

Le nom officiel du GPS (Global Positioning System) est originellement NAVSTAR (Navigation System by Timing and Ranging). Il fut imaginé et mis au point par le département de la défense américaine qui envoya dans l’espace la première génération de satellites à partir de 1978. Depuis lors, celui-ci a largement fait ses preuves et le système GPS actuel comporte une trentaine de satellites en orbites quasi circulaires faisant inlassablement deux révolutions par jour autour de la Terre.

Données

  • Célérité de la lumière dans le vide : .
  • Altitude moyenne des satellites GPS : .
  • Masse de la Terre : .
  • Rayon de la Terre : .
  • Constante de gravitation universelle : .
  • 1 octet = 8 bits.
Document

Fonctionnement général du GPS

Principe de la localisation

On peut déterminer la position d’un point à partir de sa distance à d’autres points. Par exemple, supposons que nous soyons perdus quelque part en France, si nous passons devant un panneau indiquant que Paris est à 150 km sans en donner la direction, nous sommes situés quelque part sur un cercle centré sur Paris et de rayon 150 km. Si par ailleurs un autre panneau nous indique Orléans 230 km, nous sommes sur un cercle centré sur Orléans et de rayon 230 km. Il suffit donc de tracer ces deux cercles et de voir où ils se coupent. Généralement, ils se coupent en deux points (Dieppe et Sainte-Menehould dans notre exemple) et nous avons donc besoin d’une troisième indication afin d’éliminer l’un des deux points.

Mesure de la distance satellite/récepteur

Un satellite GPS envoie très régulièrement un signal électromagnétique indiquant l’heure de l’émission du signal de manière très précise, ainsi que des informations sur la position du satellite. Le récepteur n’a plus qu’à comparer l’heure de réception à celle de l’émission pour calculer le temps de parcours du signal et en déduire la distance le séparant du satellite.

Pour bénéficier d’une précision de 10 m dans la direction de propagation du signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d’environ 30 ns. Cette précision extrême nécessite de prendre en compte des effets relativistes. La non prise en compte de ces effets entraînerait une avance des horloges des satellites sur les horloges terrestres d’environ 38 µs par jour.

Caractéristiques du signal GPS

Les informations sont envoyées par le satellite sous la forme d’un signal binaire avec un débit très faible, 50 bits . s–1. Dans la pratique, le GPS garde en mémoire les paramètres du calcul de position reçus avant dernier arrêt et reprend par défaut ces paramètres, lors de sa mise en marche. Ainsi, la mise à jour est d’autant plus rapide qu’on utilise son GPS fréquemment.

En réalité, le récepteur GPS reçoit en permanence des informations de plusieurs satellites, sur une même fréquence. Pour distinguer les satellites les uns des autres, on a attribué à chacun un code, appelé code C/A qui se présente sous la forme de séquences binaires répétées de 1 et de 0. Le message GPS est superposé à ce code et, lors de la réception du message, le récepteur pourra, grâce au code, identifier le satellite source et traduire le signal pour en connaître le message.

La superposition du code C/A et du message consiste simplement à inverser les 0 et les 1 du code lorsque le bit du message vaut 1 et à ne pas les modifier lorsque le bit du message vaut 0. Un exemple de signal reçu par le GPS est présenté en annexe 2.

D’après science.gouv.fr

1. À propos de la localisation

Sortant tout juste d’une ville française, un automobiliste voit un panneau indiquant Lyon à 240 km et Nancy à 340 km. Déterminer graphiquement, à l’aide de la carte fournie en annexe 1, la ville où il se trouve. Justifier.

2. Étude du mouvement d’un satellite

Le mouvement du satellite est étudié dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Ce référentiel est associé au centre de la Terre ainsi qu’à trois étoiles lointaines, considérées comme fixes.

1 En supposant que son orbite est circulaire, montrer que le mouvement d’un satellite GPS de masse m est uniforme.

2 Montrer que l’expression de la vitesse du satellite est et déterminer sa valeur numérique.

3 Établir l’expression de la période de révolution d’un satellite GPS. Calculer sa valeur et vérifier qu’elle est compatible avec l’information du texte d’introduction.

3. Précision des mesures

1 Justifier par le calcul la phrase suivante : « Pour bénéficier d’une précision de 10 m dans la direction de propagation du signal électromagnétique envoyé par un satellite GPS, le récepteur GPS doit mesurer la durée de trajet de ce signal avec une précision d’environ 30 ns. »

2 Quelle est la durée de parcours du signal électromagnétique ? En déduire la précision relative sur la mesure de cette durée.

3 Si on ne tenait pas compte des effets relativistes, quel serait le décalage temporel entre les horloges terrestres et celles du satellite GPS au bout d’une journée ? En déduire la durée nécessaire pour que les horloges terrestres et celle du satellite GPS soient significativement désynchronisées, c’est-à-dire pour qu’elles soient décalées de 30 ns.

4. Étude du signal GPS

1 Sachant que le message GPS contenant les paramètres de calcul a une taille d’environ 4,5 Ko, calculer la durée nécessaire à l’envoi de l’intégralité de ce message par le satellite lors de la mise en marche du GPS. Commenter cette durée surprenante en s’appuyant sur le document.

2 En annexe 2 est donné un exemple de message GPS et de code C/A. Compléter cette annexe par 0 ou 1 en effectuant la superposition « message + code » comme cela est indiqué dans le document.

Annexe 1

Carte de France

 

Annexe 2

Message GPS et code C/A

 

Notions et compétences en jeu

Savoir extraire et exploiter des informations • Savoir utiliser la 2e loi de Newton • Connaître les propriétés du mouvement circulaire uniforme • Savoir pratiquer une démarche scientifique • Connaître les caractéristiques d’une transmission numérique.

Conseils du correcteur

Partie 1

Faites attention à l’échelle.

Partie 2

1 Utilisez la 2e loi de Newton.

2 Appliquez la relation entre la vitesse et l’accélération dans un mouvement circulaire uniforme.

Partie 4

2 Utilisez les informations données dans le texte.

Corrigé

1. À propos de la localisation

Déterminer une position

 

Attention

L’automobiliste est en France.

On trace sur la carte de France deux cercles, le premier de 340 km de rayon et de centre Nancy, l’autre de 240 km de rayon et de centre Lyon. Ces deux cercles se coupent en deux points : l’un se trouve en Italie et l’autre à proximité de Bourges. D’après le texte, l’automobiliste sort d’une ville française, donc de Bourges.


 

2. Étude du mouvement d’un satellite

1 Montrer que le mouvement du satellite est uniforme

 

Attention

Il faut utiliser les notations du texte.

Dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen, le satellite est soumis à la force de gravitation exercée par la Terre. Celle-ci est dirigée vers le centre de la Terre et est telle que :

G est la constante de gravitation, MT la masse de la Terre, m la masse du satellite, RT le rayon de la Terre et h l’altitude du satellite.


 
 

Notez bien

Un mouvement circulaire uniforme est caractérisé par une accélération constante et centripède.

D’après la seconde loi de Newton :

Soit .

Puisque le mouvement est circulaire, l’accélération à laquelle est soumis le satellite est de norme constante et centripète (dirigée vers le centre du cercle). On en déduit donc que le mouvement est circulaire uniforme.

2 Établir l’expression de la vitesse du satellite

Par définition d’un mouvement circulaire uniforme, .

Donc .

L’application numérique est :

3 Établir l’expression de la période du satellite

On calcule la distance parcourue par le satellite quand il fait le tour de la Terre :

La durée mise par le satellite pour faire un tour de Terre (ou période de révolution) est :

T== 4,26 × 105 s = 11,8 h.

On retrouve l’affirmation du texte : « deux révolutions par jour » puisque la durée de révolution du satellite est proche de 12 h, soit la moitié d’une journée.

3. précision des mesures

1 Valider une information

Pour justifier l’affirmation, on calcule le temps de parcours de l’information (transmise à la vitesse de la lumière) pour un parcours de 10 m.

On sait que c= donc Δt=== 3,3 × 10–8 s = 33 ns.

Il faut donc une précision de durée d’environ 30 ns pour une précision de distance de 10 m.

2 Calculer la durée de parcours du signal

Le signal électromagnétique parcourt la distance surface de la Terre-satellite, soit h. La durée de parcours est donc :

t==== 6,67 × 10–2 s.

La précision relative sur la mesure de cette durée est donc :

== 4,9 × 10−7= 4,9 × 10−5 %.

3 Comparer le décalage entre deux horloges

D’après le texte, si on ne tient pas compte des effets relativistes, les horloges des satellites avancent de 38 µs par jour.

Pour récapituler :

 

Durée

1 jour = 24 × 60 × 60 = 8,64 × 104 s

τ

Décalage

38 × 10–6 s

30 × 10–9 s

 

Il faut donc une durée τ == 68 s pour que les deux horloges soient décalées.

4. Étude du signal GPS

1 Calculer la durée nécessaire à l’envoi d’un message

Le débit est de 50 bit . s–1.

Le message a une taille de 4,5 Ko, soit 4 500 × 8 = 3,6 × 104 bit.

La durée nécessaire à l’envoi de ce message est donc :

t== 720 s = 12 min.

Cette durée est importante. Pour éviter d’attendre aussi longtemps les informations, le GPS garde en mémoire les données reçues avant le dernier arrêt. Pour une utilisation optimale du GPS, il faut donc s’en servir sur chaque déplacement.

2 Compléter une transmission numérique

L’information reçue est le code C/A quand le bit du message vaut 0 (en rouge). L’information reçue est l’inverse du code C/A quand le bit du message vaut 1 (en vert).