Probabilité d’atteindre la cible au tir à l’arc

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Probabilité d’atteindre la cible au tir à l’arc

Graphes probabilistes

matT_1406_07_08C

Ens. de spécialité

36

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

Alice participe à une compétition de tir à l’arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches.

Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,9.

Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,4.

On suppose qu’au premier lancer, elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.

Pour tout nombre entier naturel strictement positif, on note :

la probabilité qu’Alice atteigne la cible au -ième lancer ;

la probabilité qu’Alice manque la cible au -ième lancer ;

la matrice ligne traduisant l’état probabiliste au -ième lancer.

>1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l’état « Alice atteint la cible » et B l’état « Alice manque sa cible »). (0,5 point)

b) Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l’ordre (A ; B). (0,5 point)

c) Justifier que et . (0,5 point)

>2. a) Montrer que, pour tout nombre entier strictement positif :

. (0,5 point)

b) En déduire que, pour tout nombre entier strictement positif :

. (0,25 point)

>3. a) Compléter l’algorithme fourni en annexe de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au -ième lancer. (0,5 point)

b) Déterminer l’affichage de cet algorithme pour . (0,5 point)

>4. a) On considère la suite définie pour tout nombre entier naturel strictement positif par .

Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) Donner l’expression de en fonction de , puis en déduire que, pour tout nombre entier naturel strictement positif :

. (0,5 point)

c) À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu’Alice atteigne la cible ? (0,25 point)

d) Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ? (0,5 point)

Annexe

 

Entrée

Saisir

Traitement

prend la valeur 0,5

prend la valeur 0,5

Pour allant de 2 à

prend la valeur …. …. …. ….

prend la valeur

Fin Pour

Sortie

Afficher

 
Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Matrice • Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>1. b) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe ; la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

>4. c) Utilisez le résultat du cours sur la limite d’une suite géométrique de raison telle que .

Corrigé
Corrigé

>1. a) Représenter une situation par un graphe probabiliste

La situation peut être représentée par le graphe suivant :


 

A est l’état « Alice atteint la cible » et B l’état « Alice manque sa cible ».

b) Indiquer la matrice de transition M associée à un graphe probabiliste

La matrice de transition associée au graphe précédent est ;

c) Déterminer deux états probabilistes

On suppose qu’au premier lancer, Alice a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer, d’où :

et , soit ,

Notez bien

Cela signifie qu’au deuxième lancer, la probabilité qu’Alice atteigne la cible est égale à 0,65.

d’où .

>2. a) Établir une relation entre les termes de deux suites

Pour tout nombre entier strictement positif, , c’est-à-dire :

.

D’où :

b) Établir une relation de récurrence entre deux termes consécutifs d’une suite

Notez bien

et sont les probabilités de deux événements contraires.

Il a été établi à la question précédente que, pour tout nombre entier strictement positif :

.

D’autre part, donc .

On en déduit que, pour tout nombre entier strictement positif :

>3. a) Compléter un algorithme

L’algorithme suivant affiche en sortie l’état probabiliste au -ième lancer :

 

Entrée

Saisir

Traitement

prend la valeur 0,5

prend la valeur 0,5

Pour allant de 2 à

prend la valeur

prend la valeur

Fin Pour

Sortie

Afficher

 

b) Déterminer le résultat affiché en sortie d’un algorithme

Si on programme l’algorithme précédent sur la calculatrice et qu’on saisit , on obtient en sortie et .

On peut également, en utilisant la relation , calculer les premiers termes de la suite  :

(valeur déjà calculée à la question 1. c)

 ;

 ;

.

On en déduit en utilisant la relation .

>4. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout nombre entier naturel strictement positif :

.

Attention !

Le premier terme des suites et est le terme d’indice 1, soit respectivement et

Or , donc , d’où :

.

La suite (un) est une suite géométrique de raison 0,5.

Son premier terme est .

b) Donner l’expression du terme général de deux suites

D’après le résultat du cours, pour tout entier naturel strictement positif :

.

, d’où :

c) Déterminer et interpréter la limite d’une suite

Notez bien

On en déduit également que .

car , donc :

Donc, à long terme, la probabilité qu’Alice atteigne la cible se rapproche de 0,8.

d) Trouver une autre méthode pour déterminer la limite d’une suite

On peut également déterminer l’état stable du graphe probabiliste, c’est-à-dire la matrice ligne telle que :

 et .

équivaut à , soit .

Les deux équations de ce système sont équivalentes à , soit .

et équivaut donc à , soit :

.

L’état stable du graphe probabiliste est donc

La matrice ligne traduisant l’état probabiliste au -ième lancer tend donc, lorsque « devient grand », vers On en déduit que :