Probabilité d’atteindre la cible au tir à l’arc

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine
Corpus Corpus 1
Probabilité d’atteindre la cible au tir à l’arc

Graphes probabilistes

matT_1406_07_08C

Ens. de spécialité

36

CORRIGE

France métropolitaine • Juin 2014

Exercice 2 • 5 points

Alice participe à une compétition de tir à l’arc  elle effectue plusieurs lancers de flèches.

Lorsqu’elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,9.

Lorsqu’elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu’elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à 0,4.

On suppose qu’au premier lancer, elle a autant de chances d’atteindre la cible que de la manquer.

Pour tout nombre entier naturel strictement positif, on note :

la probabilité qu’Alice atteigne la cible au -ième lancer 

la probabilité qu’Alice manque la cible au -ième lancer 

la matrice ligne traduisant l’état probabiliste au -ième lancer.

>1. a) Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l’état « Alice atteint la cible » et B l’état « Alice manque sa cible »). (0,5 point)

b) Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l’ordre (A  B). (0,5 point)

c) Justifier que et . (0,5 point)

>2. a) Montrer que, pour tout nombre entier strictement positif :

. (0,5 point)

b) En déduire que, pour tout nombre entier strictement positif :

. (0,25 point)

>3. a) Compléter l’algorithme fourni en annexe de façon à ce qu’il affiche l’état probabiliste au -ième lancer. (0,5 point)

b) Déterminer l’affichage de cet algorithme pour . (0,5 point)

>4. a) On considère la suite définie pour tout nombre entier naturel strictement positif par .

Montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) Donner l’expression de en fonction de , puis en déduire que, pour tout nombre entier naturel strictement positif :

. (0,5 point)

c) À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu’Alice atteigne la cible ? (0,25 point)

d) Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ? (0,5 point)

Annexe

 

Entrée

Saisir

Traitement

prend la valeur 0,5

prend la valeur 0,5

Pour allant de 2 à

prend la valeur …. …. …. ….

prend la valeur

Fin Pour

Sortie

Afficher

 
Les clés du sujet

Les thèmes en jeu

Graphe probabiliste • Matrice • Boucle « Pour » • Suite géométrique.

Les conseils du correcteur

>1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

>1. b) Les coefficients de la matrice de transition associée à un graphe probabiliste sont les probabilités portées par les arêtes de ce graphe  la somme des coefficients d’une ligne est égale à 1.

>4. c) Utilisez le résultat du cours sur la limite d’une suite géométrique de raison telle que .

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