Probabilité de défauts dans la fabrication de balles de tennis

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Conditionnement
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Antilles, Guyane

 

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Exercice 2 • 5 points

Probabilité de défaut dans la fabrication de balles de tennis

Les deux parties de l’exercice sont indépendantes.

PARTIE A

Une entreprise fabrique des balles de tennis et dispose de trois chaînes de fabrication appelées A, B, C.

La chaîne A fabrique 30 % de la production totale de l’entreprise.

La chaîne B en fabrique 10 %.

La chaîne C fabrique le reste de la production.

En sortie de chaîne, certaines balles peuvent présenter un défaut.

5 % des balles issues de la chaîne A présentent un défaut.

5 % des balles issues de la chaîne B présentent un défaut.

4 % des balles issues de la chaîne C présentent un défaut.

On choisit au hasard une balle dans la production de l’entreprise et on note les événements :

A : « la balle provient de la chaîne A » ;

B : « la balle provient de la chaîne B » ;

C : « la balle provient de la chaîne C » ;

D : « la balle présente un défaut ».

matT_1409_04_00C_02

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre. (0,75 point)

2. Comment se note la probabilité de l’événement « la balle présente un défaut et provient de la chaîne B » ? (0,25 point)

3. Montrer que 125717-Eqn29, la probabilité de l’événement D, vaut 0,044. (1 point)

4. Calculer 125717-Eqn30, la probabilité de A sachant D, et donner un résultat arrondi à 0,001. (1 point)

5. On choisit 5 balles au hasard dans la production totale, qui est suffisamment importante pour que ce choix puisse être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise.

Quelle est la probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut ? Arrondir le résultat à 0,0001 et justifier la réponse. (1 point)

PARTIE B

Pour être homologuée par la Fédération Internationale de Tennis, le poids d’une balle de tennis doit être compris entre 56,7 grammes et 58,5 grammes.

On suppose que la variable aléatoire 125717-Eqn31 qui, à une balle choisie au hasard dans la production, associe son poids en gramme, suit la loi normale d’espérance 125717-Eqn32 et d’écart-type 125717-Eqn33.

On arrondira les résultats au millième.

1. Quelle est la probabilité qu’une balle choisie au hasard soit homologuée ? (0,5 point)

2. Quelle est la probabilité qu’une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58 grammes ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Loi binomiale • Variable aléatoire • Loi à densité, loi normale

Les conseils du correcteur

Partie A

2. L’événement « la balle présente un défaut et provient de la chaîne B » est l’intersection de deux événements définis dans l’énoncé ; sa probabilité n’est pas une probabilité conditionnelle.

3. Une balle qui présente un défaut provient de la chaîne A ou de la chaîne B ou de la chaîne C.

5. Pensez à la loi binomiale.

Partie B

1. Appliquez un résultat du cours.

2. Utilisez la calculatrice.

Corrigé

Corrigé

PARTIE A

1. Compléter un arbre pondéré

matT_1409_04_00C_05

Les probabilités indiquées sur les branches « de premier niveau » correspondent à la répartition de la production entre les différentes chaînes de fabrication.

Sur les branches « de second niveau » figurent des probabilités conditionnelles correspondant au pourcentage de balles défectueuses suivant la chaîne dont elles sont issues :

5 % des balles issues de la chaîne A présentent un défaut, donc 95 % n’en présentent pas ;

mêmes résultats pour la chaîne B ;

4 % des balles issues de la chaîne C présentent un défaut, donc 96 % n’en présentent pas.

2. Interpréter la probabilité d’un événement

L’événement « la balle présente un défaut et provient de la chaîne B » est 125717-Eqn124, sa probabilité se note 125717-Eqn125.

3. Calculer la probabilité d’un événement

Notez bien

En effet, 125717-Eqn126 est l’univers, et les événements 125717-Eqn127 sont deux à deux incompatibles (leur intersection est vide).

125717-Eqn128forment une partition de l’univers, donc :

125717-Eqn129

Notez bien

On peut interpréter ce résultat en disant que 4,4 % des balles présentent un défaut.

D’où 125717-Eqn130, soit :

125717-Eqn131.

4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité 125717-Eqn132 étant non nulle :

125717-Eqn133

125717-Eqn134.

En arrondissant à 0,001 :

125717-Eqn135

5. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Soit 125717-Eqn136 la variable aléatoire égale au nombre de balles qui, parmi les 5 choisies, présentent un défaut. Puisqu’on considère que le choix des 5 balles peut être assimilé à cinq tirages indépendants avec remise, la variable aléatoire 125717-Eqn137 suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,044.

La probabilité pour que 3 balles possèdent un défaut est 125717-Eqn138

125717-Eqn139.

En arrondissant à 0,0001 :

125717-Eqn140

PARTIE B

1. Calculer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité qu’une balle choisie au hasard soit homologuée est :

125717-Eqn141

Or 125717-Eqn142 et 125717-Eqn143, donc, d’après le cours, en arrondissant au millième :

125717-Eqn144

2. Calculer une probabilité associée à une loi normale

La probabilité qu’une balle choisie au hasard ait un poids supérieur à 58 grammes est 125717-Eqn145.

Info

Puisque 125717-Eqn146 suit une loi normale d’espérance 125717-Eqn147 :

125717-Eqn148

Puisque la variable aléatoire 125717-Eqn149 a pour espérance 125717-Eqn150 :

125717-Eqn151

D’où, en utilisant la calculatrice et en arrondissant le résultat au millième :

125717-Eqn152