Probabilité de demander un avis sur une lecture

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Suites
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud

Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 3 • 5 points

Probabilité de demander un avis sur une lecture proposée : étude à l’aide de suites

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l’hebdomadaire littéraire « La Lecture ». Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l’avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l’hebdomadaire « La Lecture ». Son souhait de demander un avis change d’une semaine sur l’autre selon le plaisir qu’elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donné par le bibliothécaire la semaine précédente.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut 0,1.

Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note an la probabilité que Claudine demande un avis la n-ième semaine. On a ainsi a1=0,1.

On admet que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a :

an+1=0,5 an+0,4.

1. Calculer la probabilité a2 que Claudine demande un avis la deuxième semaine. (0,5 point)

2. Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on définit la suite (vn) par :

vn=an0,8.

a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,5.

Préciser son premier terme v1. (1 point)

b) Montrer que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a :

an=0,80,7×0,5n1. (0,75 point)

c) Déterminer la limite de la suite (vn). (0,25 point)

d) En déduire la limite de la suite (an). Interpréter ce résultat. (0,5 point)

3. On considère l’algorithme suivant :

VARIABLES :

A est un réel

N est un entier naturel

L est un réel strictement compris entre 0,1 et 0,8

INITIALISATION :

A prend la valeur 0,1

N prend la valeur 1

TRAITEMENT :

Tant que AL

N prend la valeur N + 1

A prend la valeur 0,5×A+0,4

Fin du Tant que

SORTIE :

Afficher N

a) Pour la valeur L = 0,7, recopier et compléter autant que nécessaire les colonnes du tableau suivant. (0,5 point)

Valeur de N

1

2

Valeur de A

0,1

Condition A L

vraie

b) En déduire l’affichage de N obtenu en sortie d’algorithme quand la valeur de L est 0,7. (0,5 point)

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre N obtenu en sortie de l’algorithme quand le nombre L est compris strictement entre 0,1 et 0,8. (0,5 point)

Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

4. Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

2. a) La suite (vn) est géométrique de raison 0,5 si et seulement si, pour tout entier naturel n strictement positif, vn+1=0,5 vn.

b) Tenez compte du fait que le premier terme de la suite (vn) est v1.

Corrigé

Corrigé

1. Calculer une probabilité

a2=0,5×0,1+0,4=0,45

La probabilité que Claudine demande un avis la deuxième semaine est égale à 0,45.

2. a) Montrer qu’une suite est une suite géométrique

Pour tout nombre entier naturel n strictement positif , vn=an0,8.

Pour tout entier naturel n strictement positif :

vn+1=an+10,8vn+1=0,5 an+0,40,8vn+1=0,5 an0,4vn+1=0,5 (an0,8)vn+1=0,5 vn.

De plus, v1=a10,8=0,10,8=0,7.

Donc (vn) est la suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme v1=0,7.

b) Déterminer l’expression du terme général d’une suite

Pour tout entier naturel n strictement positif :

vn=0,7×0,5n1.

Or vn=an0,8, donc an=vn+0,8 , donc, pour tout entier n strictement positif :

an=0,80,7×0,5n1.

c) Déterminer la limite d’une suite géométrique

Info

On dit aussi que « la suite (vn) converge vers 0 ».

0<0,5<1, donc limn+vn=0.

La suite (vn) a pour limite 0.

d) Déterminer la limite d’une suite

limn+vn=0 et an=vn+0,8 pour tout entier naturel n strictement positif, donc :

limn+an=0,8.

Au bout d’un grand nombre de semaines, la probabilité que Claudine demande un avis est proche de 0,8.

3. a) Construire un tableau d’étapes d’un algorithme

Valeur de N

1

2

3

4

Valeur de A

0,1

0,45

0,625

0,7125

Condition A L

vraie

Vraie

vraie

fausse

b) Déterminer la valeur affichée en sortie d’un algorithme

D’après la question précédente, quand la valeur de L est 0,7, la valeur de N affichée en sortie d’algorithme est : N=4.

c) Interpréter la valeur affichée en sortie d’un algorithme

Le nombre N obtenu en sortie de l’algorithme est le rang de la première semaine où la probabilité que Claudine demande un avis est supérieure à L.

4. Déterminer le nombre de semaines à partir duquel une condition est remplie

On peut répondre en utilisant l’algorithme précédent avec L=0,799.

On cherche n tel que an>0,799.

Notez bien

ln0,5<0 car 0<0,5<1.

0,80,7×0,5n1>0,7990,7×0,5n1<0,001 0,5n1<0,0010,7(n1)ln0,5<ln(0,0010,7)n1>ln(0,0010,7)ln0,5 n>ln(0,0010,7)ln0,5+1

Or, ln(0,0010,7)ln0,5+110,45, donc, puisque n est entier : :

80,7×0,5n1>0,799n11.

À partir de 11 semaines, la probabilité que Claudine demande un avis est supérieure à 0,799.