Probabilité de demander un avis sur une lecture proposée (graphe probabiliste)

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Sud


Amérique du Sud • Novembre 2015

Exercice 3 • 5 points

Probabilité de demander un avis sur une lecture proposée : étude à l’aide d’un graphe probabiliste

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l’hebdomadaire littéraire « La Lecture ». Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et demande ou non l’avis de la bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l’hebdomadaire « La Lecture ».

Lorsque Claudine demande à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu’elle le demande de nouveau la semaine suivante est 0,9.

Lorsque Claudine ne demande pas à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu’elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est 0,6.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut 0,1.

Pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on note :

an la probabilité que Claudine demande un avis à la bibliothécaire la n-ième semaine ;

bn la probabilité que Claudine ne demande pas d’avis à la bibliothécaire la n-ième semaine ;

Pn=(an  bn) la matrice ligne traduisant l’état probabiliste la n-ième semaine.

On a ainsi a1=0,1 et b1=0,9.

1. a) Illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B :

A représente l’état « Claudine demande un avis à la bibliothécaire » ;

B représente l’état « Claudine ne demande pas d’avis à la bibliothécaire ». (1 point)

b) Indiquer la matrice de transition M associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l’ordre (A, B). (0,5 point)

2. Montrer que l’on a P2=(0,45  0,55). (0,5 point)

3. a) Montrer que l’état stable de la répartition du choix de la demande d’avis est P=(0,8  0,2). (1 point)

b) Interpréter ce résultat. (0,5 point)

4. On admet que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a :

an=0,5 an+0,4.

On considère l’algorithme suivant :

VARIABLES :

A est un réel et N est un entier naturel

INITIALISATION :

A prend la valeur 0,1

N prend la valeur 1

TRAITEMENT :

Tant que A0,79

N prend la valeur N + 1

A prend la valeur 0,5×A+0,4

Fin du Tant que

SORTIE :

Afficher N

Préciser ce que cet algorithme permet d’obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de N affichée en sortie d’algorithme.) (1 point)

5. On admet que, pour tout nombre entier naturel n strictement positif, on a :

an=0,80,7×0,5n1.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à 0,799. (0,5 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 45 minutes

Les thèmes en jeu

Suite géométrique • Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que » • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

1. a) Dans un graphe probabiliste, les arêtes issues d’un même sommet sont pondérées par des probabilités conditionnelles de somme égale à 1.

3. a) L’état stable est associé à l’unique matrice ligne P dont la somme des coefficients vaut 1 et telle que PM=M.

4. N’oubliez pas que, pour tout entier naturel n, an+bn=1.

5. Utilisez la fonction ln.

Corrigé

Corrigé

1. a) Représenter un graphe probabiliste

matT_1511_03_00C_04

b) Donner la matrice de transition d’un graphe probabiliste

La matrice de transition du graphe précédent est :

M=(0,90,10,40,6).

2. Déterminer un état probabiliste

P2=P1 M=(0,1  0,9)(0,90,10,40,6)=(0,45  0,55).

L’état probabiliste de la deuxième semaine est :

P2=(0,45  0,55).

3. a) Déterminer l’état stable associé à un graphe probabiliste

Notez bien

L’état stable existe car la matrice de transition ne comporte aucun coefficient nul. Il est indépendant de l’état initial.

L’état stable est P=(a  b) avec a+b=1 et P M=P.

P M=P(a  b) (0,90,10,40,6)=(a  b)

 P M=P{0,9a+0,4b=a0,1a+0,6b=b  

P M=P0,1a=0,4b 

P M=Pa=4b.

On en déduit a et b en résolvant le système {a+b=1a=4b.

Ce système équivaut à {5b=1a=4b.

Donc b=15=0,2 et a=45=0,8

Donc l’état stable de la répartition du choix de la demande d’avis est :

P=(0,8  0,2).

b) Interpréter un état stable

Au bout d’un certain nombre de mois, la probabilité que Claudine demande un avis sera voisine de 0,8.

4. Préciser le rôle d’un algorithme

L’algorithme permet d’obtenir la plus petite valeur de n telle que an>0,79, c’est-à-dire le rang de la première semaine où la probabilité que Claudine demande un avis est supérieure à 0,79.

5. Déterminer à partir de quel rang les termes d’une suite vérifient une condition donnée

Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieure à 0,799 revient à déterminer le plus petit entier naturel non nul n solution de l’inéquation :

0,80,7×0,5n1>0,799.

0,80,7×0,5n1>0,7990,7×0,5n1<0,001 

0,80,7×0,5n1>0,7990,5n1<0,0010,7

0,80,7×0,5n1>0,799(n1)ln(0,5)<ln(0,0010,7)

0,80,7×0,5n1>0,799n1>ln(0,0010,7)ln0,5

0,80,7×0,5n1n>ln(0,0010,7)ln0,5+1.

Info

On obtient le même résultat en utilisant l’algorithme de la question 4. dans lequel, au début de la boucle « Tant que », on remplace 0,79 par 0,799.

Or :

ln(0,0010,7)ln0,5+110,45

Donc la probabilité que Claudine demande un avis est supérieure à 0,799 à partir de la 11e semaine.