Probabilité de réussir un plongeon

Pierre prend des cours de natation  il effectue plusieurs plongeons.

Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu’il réussisse le plongeon suivant est de 0,7. Par contre, lorsqu’il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu’il réussisse le plongeon suivant est égale à 0,2.

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.

L’état « plongeon réussi » est noté R.

L’état « plongeon non réussi » est noté $\overline{R}$.

Pour tout entier naturel n ≥ 1, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est notée an, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son n-ième plongeon est notée bn.

La matrice ligne $P_n=(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\end{array})$ donne l’état probabiliste du système lors du n-ième plongeon.

▶ 1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets R et $\overline{R}$. (0,5 point)

▶ 2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets R et $\overline{R}$ étant classés dans cet ordre. (0,5 point)

▶ 3. Justifier que $P_1=(\begin{array}{cc}1& 0\end{array})$. (0,25 point)

▶ 4. Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon. (0,5 point)

▶ 5. Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$a_{n+1}=\text{ 0,5 }{a}_n+\mathrm{0,2}$. (0,75 point)

▶ 6. Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à 0,41, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.

On cherche alors à déterminer au bout de combien d’essais Pierre arrête sa série de plongeons.

On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel n ≥ 1 tel que :

an ≤ 0,41.

Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il permette de répondre à la question posée. (0,75 point)

▶ 7. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par :

un = an - 0,4.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$a_n=\mathrm{0,6}\times {\mathrm{0,5}}^{n-1}+\mathrm{0,4}.$ (0,5 point)

c) Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que :

an ≤ 0,41. (0,5 point)

d) Au bout de combien d’essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ? (0,25 point)