Graphes probabilistes

matT_1611_11_06C

Ens. de spécialité

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 2 • 5 points • ⏱ 45 min

Probabilité de réussir un plongeon

Les thèmes clés

Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

Pierre prend des cours de natation il effectue plusieurs plongeons.

Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est de 0,7. Par contre, lorsqu'il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est égale à 0,2.

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.

L'état « plongeon réussi » est noté R.

L'état « plongeon non réussi » est noté $\bar{R}$ .

Pour tout entier naturel n ≥ 1, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est notée an, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son n-ième plongeon est notée bn.

La matrice ligne $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ donne l'état probabiliste du système lors du n-ième plongeon.

▶ 1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets R et $\bar{R}$ . (0,5 point)

▶ 2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets R et $\bar{R}$ étant classés dans cet ordre. (0,5 point)

▶ 3. Justifier que $P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ . (0,25 point)

▶ 4. Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon. (0,5 point)

▶ 5. Montrer que, pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2$ . (0,75 point)

▶ 6. Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à 0,41, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.

On cherche alors à déterminer au bout de combien d'essais Pierre arrête sa série de plongeons.

On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel n ≥ 1 tel que :

an ≤ 0,41.

Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre à la question posée. (0,75 point)

040_matT_1611_11_06C_algo_001

▶ 7. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par :

un = an - 0,4.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) Démontrer que pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$a_{n} = 0,6 \times {0,5}^{n - 1} + 0,4 .$ (0,5 point)

c) Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que :

an ≤ 0,41. (0,5 point)

d) Au bout de combien d'essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ? (0,25 point)

Les clés du sujet

▶ 2. La matrice de transition associée à un graphe probabiliste est une matrice carrée dont le nombre de lignes et le nombre de colonnes sont égaux au nombre d'états (deux états ici).

▶ 4. Déterminez P4.

▶ 5. Utilisez le fait que, pour tout entier naturel n, an + bn = 1.

▶ 7. a) La suite (un) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, un+1 = q un.

b) Déterminez dans un premier temps l'expression de un en fonction de n.

Corrigé

▶ 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

notez bien

Dans un graphe probabiliste, la somme des probabilités portées par les arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.

La situation peut être représentée par le graphe suivant :

Importation de l'image : matT_1611_11_00C_03.png impossible

matT_1609_11_00C_03

notez bien

Les coefficients de la première ligne de la matrice M sont les probabilités portées par les arêtes issues du sommet R du graphe, ceux de la deuxième ligne sont les probabilités portées par les arêtes issues de $\bar{R}$ .

▶ 2. Déterminer la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

${\begin{cases} a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,2 b_{n} \\ b_{n + 1} = 0,3 a_{n} + 0,8 b_{n} \end{cases}$

Donc :

$P_{n + 1} = P_{n} (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix})$ .

La matrice de transition associée au graphe ci-dessus est :

$M = (\begin{matrix} 0,7 & 0,3 \\ 0,2 & 0,8 \end{matrix})$

▶ 3. Justifier un état probabiliste

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon, donc a1 = 1 et b1 = 0. Donc :

$P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$

▶ 4. Déterminer une probabilité associée à un graphe probabiliste

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

Pn+1 = Pn × M et $P_{n} = P_{1} \times M^{n - 1}$ .

Donc $P_{4} = P_{1} \times M^{3}$ .

D'après la calculatrice : $P_{4} = (\begin{matrix} 0,475 & 0,525 \end{matrix})$ . La probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon est égale à 0,475.

▶ 5. Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

On a vu (question 2.) que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

$a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,2 b_{n}$

et on sait que an + bn = 1, donc bn = 1 - an.

Donc :

$a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,2 (1 - a_{n})$

$a_{n + 1} = 0,7 a_{n} + 0,2 - 0,2 a_{n}$

$a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2$

▶ 6. Compléter un algorithme

040_matT_1611_11_06C_algo_002

▶ 7. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

un+1 = an+1 - 0,4

$u_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,2 - 0,4$

$u_{n + 1} = 0,5 (u_{n} + 0,4) - 0,2$

$u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 0,2 - 0,2$

$u_{n + 1} = 0,5 u_{n} .$

La suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5.

Son premier terme est $u_{1} = a_{1} - 0,4 = 0,6$ .

b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite

D'après la question précédente, pour tout entier naturel n ≥ 1 :

$u_{n} = 0,6 \times {0,5}^{n - 1}$

an = un + 0,4

$a_{n} = 0,6 \times {0,5}^{n - 1} + 0,4$

c) Déterminer le premier terme d'une suite inférieur à un nombre donné

$a_{n} \leq 0,41 \Leftrightarrow 0,6 \times {0,5}^{n - 1} + 0,4 \leq 0,41 \Leftrightarrow 0,6 \times {0,5}^{n - 1} \leq 0,01$

$\Leftrightarrow {0,5}^{n - 1} \leq \frac{0,01}{0,6} \Leftrightarrow (n - 1) \ln 0,5 \leq \ln (\frac{0,01}{0,6})$

$\Leftrightarrow n - 1 \geq \frac{\ln (\frac{0,01}{0,6})}{\ln 0,5} \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln (\frac{0,01}{0,6})}{\ln 0,5} + 1$ .

Or $\frac{\ln (\frac{0,01}{0,6})}{\ln 0,5} + 1 \approx 6,9$ et n est entier, donc an ≤ 0,41 ⇔ n ≥ 7.

Le plus petit entier naturel n tel que $a_{n} \leq 0,41$ est donc $n = 7$ .

d) Interpréter concrètement un résultat obtenu par calcul

D'après la question précédente, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est inférieure ou égale à 0,41 à partir de n = 7.

Pierre arrête après son septième plongeon.

Probabilité de réussir un plongeon

▶ 1. Représenter une situation par un graphe probabiliste

▶ 2. Déterminer la matrice de transition associée à un graphe probabiliste

▶ 3. Justifier un état probabiliste

▶ 4. Déterminer une probabilité associée à un graphe probabiliste

▶ 5. Déterminer une relation entre deux termes consécutifs d'une suite

▶ 6. Compléter un algorithme

▶ 7. a) Montrer qu'une suite est une suite géométrique

b) Déterminer l'expression du terme général d'une suite

c) Déterminer le premier terme d'une suite inférieur à un nombre donné

d) Interpréter concrètement un résultat obtenu par calcul

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