Probabilité de réussir un plongeon

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES | Thème(s) : Matrices et graphes
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Nouvelle-Calédonie


Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 2 • 5 points • 45 min

Probabilité de réussir un plongeon

Les thèmes clés

Graphe probabiliste • Boucle avec arrêt conditionnel « Tant que ».

 

Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons.

Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu’il réussisse le plongeon suivant est de 0,7. Par contre, lorsqu’il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu’il réussisse le plongeon suivant est égale à 0,2.

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.

L’état « plongeon réussi » est noté R.

L’état « plongeon non réussi » est noté R¯.

Pour tout entier naturel n 1, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est notée an, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son n-ième plongeon est notée bn.

La matrice ligne Pn=(anbn) donne l’état probabiliste du système lors du n-ième plongeon.

1. Représenter la situation à l’aide d’un graphe probabiliste de sommets R et R¯. (0,5 point)

2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets R et R¯ étant classés dans cet ordre. (0,5 point)

3. Justifier que P1=(10). (0,25 point)

4. Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon. (0,5 point)

5. Montrer que, pour tout entier naturel n 1 :

an+1= 0,5 an+0,2. (0,75 point)

6. Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à 0,41, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.

On cherche alors à déterminer au bout de combien d’essais Pierre arrête sa série de plongeons.

On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel n 1 tel que :

an 0,41.

Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il permette de répondre à la question posée. (0,75 point)

040_matT_1611_11_06C_algo_001

7. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n 1 par :

un = an - 0,4.

a) Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (0,5 point)

b) Démontrer que pour tout entier naturel n 1 :

an=0,6×0,5n1+0,4. (0,5 point)

c) Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que :

an 0,41. (0,5 point)

d) Au bout de combien d’essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ? (0,25 point)

Les clés du sujet

2. La matrice de transition associée à un graphe probabiliste est une matrice carrée dont le nombre de lignes et le nombre de colonnes sont égaux au nombre d’états (deux états ici).

4. Déterminez P4.

5. Utilisez le fait que, pour tout entier naturel n, an + bn = 1.

7. a) La suite (un) est géométrique si et seulement si il existe un réel q (constant) tel que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, un+1 = q un.

b) Déterminez dans un premier temps l’expression de un en fonction de n.