Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Probabilités

Deuxième exercice de type Bac – Avec un arbre pondéré

Une enquête de santé sur un échantillon de 3 000 personnes a donné les résultats suivants.

PB_9782216129331_T_ST2S_04_Maths_Tab_33

1. Dans tout ce qui suit, les pourcentages sont, éventuellement, à arrondir à 0,1 %.

a. Déterminer le pourcentage de personnes diabétiques de l’échantillon.

b. Déterminer le pourcentage de personne diabétiques parmi les personnes de 18 à 59 ans de l’échantillon.

c. Déterminer le pourcentage de personnes de 60 à 90 ans parmi les personnes diabétiques de l’échantillon.

d. Déterminer le pourcentage de personnes de 18 à 39 ans parmi les personnes non diabétiques de l’échantillon.

2. Parmi les personnes diabétiques de l’échantillon, 399 d’entre elles ont consulté un ophtalmologiste depuis moins de 12 mois.

Parmi les personnes non diabétiques de l’échantillon, 1 032 ont consulté un ophtalmologiste depuis moins de 12 mois.

On choisit une personne au hasard parmi les 3 000 de l’échantillon. Toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies.

On considère les événements suivants :

A : « La personne est diabétique » ;

B : « La personne a consulté un ophtalmologiste depuis moins de 12 mois ».

a. Montrer que PA(B) = 0,95.

b. Déterminer la probabilité conditionnelle PA¯(B¯).

c. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

Maths_C04_01

d. Calculer P(A B) et P(A¯B).

e. En déduire la probabilité que la personne ait consulté un ophtalmologiste depuis moins de 12 mois.

f. Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.

Corrigé

Pour arrondir un pourcentage à 0,1 % il faut arrondir la forme décimale à 10–3.

1. a. 4203000=0,14. Il y a 14 % de personnes diabétiques dans l’échantillon.

b. 54+1621080+11490,097=9,7%. Il y a 9,7 % de personnes diabétiques parmi les personnes de 18 à 59 ans de l’échantillon.

c. 2044200,486=48,6%. Il y a 48,6 % de personnes de 60 à 90 ans parmi les personnes diabétiques de l’échantillon.

d. 102625800,398=39,8%. Il y a 39,8 % de personnes de 18 à 39 ans parmi les personnes non diabétiques de l’échantillon.

2. a. PA(B) est la probabilité que la personne choisie ait consulté un ophtalmologiste depuis moins de 12 mois sachant qu’elle est diabétique. Il y a 339 diabétiques ayant consulté un ophtalmologiste depuis moins de 12 mois et 420 diabétiques.

Donc, PA(B)=399420=0,95.

b. On cherche la probabilité que la personne choisie n’ait pas consulté un ophtalmologiste sachant qu’elle n’est pas diabétique.

Il y a 2 580 – 1 032 = 1 548 non diabétiques n’ayant pas consulté un ophtalmologiste depuis moins de 12 mois. Il y a 2 580 non diabétiques.

Donc PA¯(B¯)=15482580=0,60.

La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d’un même nœud est égale à 1.

c. Maths_C04_02

En , on fait figurer P(A¯)=1P(A)

P(A¯)=10,14=0,86.

En , on fait figurer 1 – 0,95 = 0,05.

En , on fait figurer 1 – 0,60 = 0,40.

La probabilité d’un résultat est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches qui conduisant à ce résultat.

(C’est la règle 1 du paragraphe du cours).

d. AB est un « résultat ».

Donc P(AB) = P(A) × PA(B) ; P(AB) = 0,14 × 0,95 = 0,133.

De même, P(A¯B)=P(A¯)×PA¯(B)=0,86×0,40=0,344.

e. On cherche P(B).

P(B)=P(AB)+P(A¯B).

La probabilité d’un événement apparaissant à l’issue de l’étape 2 est égale à la somme des probabilités des résultats dans lesquels cet événement figure. (C’est la règle 2 du paragraphe du cours).

P(B) = 0,133 + 0,344 ; P(B) = 0,477.

f. P(AB) = 0,133.

P(A) × P(B) = 0,14 × 0,477 ; P(A) × P(B) = 0,06678.

P(AB) = 0,133.

P(AB) ≠ P(A) × P(B) donc les deux événements A et B ne sont pas indépendants.