Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Probabilités et statistique

Cinquième exercice de type Bac – Loi normale et intervalle de fluctuation asymptotique (II)

Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront à arrondir à 10–4.

L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5 litre de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1,55 litre. À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire X qui suit la loi normale de moyenne μ = 1,5 et d'écart-type σ = 0,015.

1. Déterminer P(1,485X1,515).

2. On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits dans la production d'une journée.

a. Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de jus de fruits ?

b. Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.

c. Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage ? On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de 1,55 litre.

3. Une bouteille est dite conforme si elle contient entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits. Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est 0,0077. Un supermarché achète un lot de 10 000 bouteilles.

a. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence observée de bouteilles non conformes dans un tel lot.

b. Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement élevé. L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter ?

Corrigé

Voir un résultat du paragraphe .

1. P1,485X1,515=PXμσ,μ+σ0,68

2. a. P(X=1,48)=0. (Avec une loi normale, pour tout a, PX=a=0)

b. P(1,46 ≤ X ≤ 1,54) ≈ 0,9923.

c. P(X > 1,55) = 1 – P(X ≤ 1,55) ≈ 0,0004.

3. a. I=p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n.

p = 0,0077 et n = 10 000, d'où I=0,0060;0,0094.

b. 0,009 appartient à I, il n'y a pas lieu de s'inquiéter.