Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Probabilités et statistique

Sixième exercice de type Bac – Intervalle de confiance

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.

A. Un candidat A à une élection fait effectuer un sondage dans sa circonscription comportant 85 842 électeurs : sur 1 068 personnes interrogées, 550 déclarent vouloir voter pour ce candidat.

On suppose que cet échantillon peut être assimilé à un échantillon prélevé au hasard et avec remise dans la population des électeurs de la circonscription.

On appelle p la proportion inconnue, exprimée en pourcentage, des électeurs de la circonscription voulant voter pour le candidat.

1. Déterminer un intervalle de confiance de p avec le niveau de confiance 0,95.

2. Au vu du résultat de ce sondage, le candidat a-t-il raison de penser que si les élections avaient eu lieu au moment où le sondage a été réalisé et si les réponses au sondage étaient sincères, il aurait été élu au premier tour ?

B. Quel est le nombre minimal n de personnes à interroger par un institut de sondage pour que, avec 52 % d’intentions de vote pour un candidat B dans un échantillon de taille n, l’intervalle de confiance avec le niveau de confiance 95 % du pourcentage inconnu p d’électeurs de la circonscription voulant voter pour B ne comporte que des pourcentages supérieurs à 50 % ?

Corrigé

A.1. La fréquence des électeurs déclarant vouloir voter pour le candidat parmi les 1 068 électeurs interrogés est f=55010680,515.

L’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, pour la proportion des électeurs de la circonscription voulant voter pour le candidat est :

f1,96f(1f)n,f+1,96f(1f)n=[0,485;0,545] ;

c’est-à-dire, en pourcentages, [48,5 % ; 54,5 %].

2. Avec le coefficient de confiance 95 %, le pourcentage des électeurs votant pour A est situé dans [48,5 % ; 54,5 %]. Ce pourcentage peut très bien être 49 %, auquel cas A n’est pas élu.

B. L’intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, correspondant à cet échantillon de taille n est :

0,521,960,52×0,48n;0,52+1,960,52×0,48n.

Cet intervalle ne comporte que des pourcentages supérieurs à 50 % = 0,5 si et seulement si : 0,521,960,52×0,48n0,5 qui équivaut à 0,520,51,960,52×0,48n, 0,021,9620,52×0,48n, n0,52×0,48×(1,96)2(0,02)2.

Le nombre minimal de personnes sondées est donc n = 2 398.