Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Probabilités et statistique

Septième exercice de type Bac – Comparer deux proportions

Une entreprise propose en grande quantité un certain produit pour lequel le pourcentage p de produit de qualité supérieure est inconnu, le reste étant de qualité ordinaire.

Une étude portant sur un échantillon de 200 unités de ce produit montre que 60 sont de qualité supérieure.

On suppose que cet échantillon peut être considéré comme prélevé au hasard et avec remise dans la population des unités de ce produit proposées par cette entreprise.

1. Déterminer un intervalle de confiance, avec un niveau de confiance de 95 %, de la proportion p exprimée en pourcentage d’unités de qualité supérieure.

2. En vue d’améliorer la qualité du produit, on procède à certaines modifications.

Soit p’ le nouveau pourcentage d’unités de qualité supérieure ainsi obtenues.

Sur un échantillon de taille 200, on observe que 80 unités sont de qualité supérieure.

On fait la même hypothèse que ci-dessus sur cet échantillon.

Déterminer un intervalle de confiance, avec un niveau de confiance 95 %, de la proportion p’ exprimée en pourcentage d’unités de qualité supérieure.

3. En déduire si, au seuil de 5 %, le pourcentage d’unités de qualité supérieure peut être jugé inchangé.

Corrigé

1. La fréquence des unités de qualité supérieure dans l’échantillon de taille n = 200 est f=60200=0,3.

Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 % de la proportion p d’unités de qualité supérieure dans la population des unités de ce produit proposées par cette entreprise est :

f1,96f(1f)n,f+1,96f(1f)n[0,24;0,36].

c’est-à-dire, en pourcentages, [24 % ; 36 %].

2. La nouvelle fréquence des unités de qualité supérieure dans le nouvel échantillon de taille n = 200 est f=80200=0,4.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la nouvelle proportion p’ d’unités de qualité supérieure dans la nouvelle population des unités de ce produit proposées par cette entreprise est :

f1,96f(1f)n,f+1,96f(1f)n[0,33;0,47].

c’est-à-dire, en pourcentages, [33 % ; 47 %].

3. Les deux intervalles [24 % ; 36 %] et [33 % ; 47 %] ne sont pas disjoints car leur intersection est l’intervalle [33 % ; 36 %].

Au seuil de 5 %, on juge que la différence des fréquences f et f’ n’est pas significative et donc que le pourcentage d’unités de qualité supérieure est inchangé.