Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Probabilités

Deuxième exercice de type Bac – Probabilités conditionnelles avec un arbre pondéré

Un vendeur de jeux vidéo a proposé en 2014 une carte de fidélité à ses clients ; 60 % d’entre eux ont pris la carte.

Parmi les clients munis d’une carte de fidélité, 70 % ont dépensé plus de 300 € dans l’année, alors que seuls 40 % des clients sans carte ont dépensé plus de cette somme annuellement.

À la fin de l’année 2014, le vendeur a consulté le fichier de tous ses clients.

Il a choisi au hasard un des clients de l’année 2014.

On nomme :

F l’événement : « Le client choisi possède une carte de fidélité »,

D l’événement : « Le client choisi a dépensé plus de 300 € dans l’année 2014 ».

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1. Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilités ci-contre.

2. Montrer que P(F D) = 0,42.

3. Quelle est la probabilité que le client choisi ne possède pas de carte de fidélité et ait dépensé plus de 300 euros en 2014 ? En déduire P(D).

4. Calculer la probabilité de F sachant D. Arrondir à 10–2.

Corrigé

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1.P(F)=1P(F)=0,4.

• Parmi les clients munis d’une carte de fidélité, 70 % ont dépensé plus de 300 €, d’où PF(D) = 0,7 ; on en déduit PF(D)=10,7=0,3.

• 40 % des clients sans carte ont dépensé plus de 300 € d’où PF¯(D)=0,4 ; on en déduit PF¯(D¯)=10,4=0,6. D’où l’arbre ci-contre.

2. P(FD) est égale au produit des probabilités inscrite sur les branches du chemin conduisant à F puis à D. D’où P(FD) = 0,6 × 0,7 ;

P(F  D) = 0,42.

Utiliser la règle 1 du paragraphe .

3. • On cherche P(FD). Cette probabilité est le produit des probabilités inscrites sur les branches du chemin conduisant à F puis à D.

P(FD)=0,4×0,4=0,16.

• On a P(D)=P(FD)+P(F¯D) ; P(D) = 0,42 + 0,16. P(D) = 0,58.

Utiliser la règle 2 du paragraphe .

4. On cherche PD(F). PD(F)=P(FD)P(D)=0,420,58PD(F)0,72.