Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Probabilités

Troisième exercice de type Bac – Probabilités conditionnelles, loi binomiale, loi normale, intervalle de fluctuation d’une fréquence

Les quatre parties de cet exercice sont indépendantes.

Dans cet exercice, on s’intéresse aux factures comptabilisées chaque mois dans un grand garage.

A. Probabilités conditionnelles

Les factures du garage sont de deux types : les factures provenant de l’atelier de mécanique et les factures provenant de l’atelier de carrosserie.

On admet, qu’un certain mois, 65 % des factures proviennent de l’atelier de mécanique et le reste de l’atelier de carrosserie. Dans l’ensemble des factures de ce mois, 2 % des factures provenant de l’atelier de mécanique sont erronées et 1 % des factures provenant de l’atelier de carrosserie sont erronées.

On prélève au hasard une facture dans l’ensemble des factures de ce mois. Toutes les factures ont la même probabilité d’être prélevées.

On considère les événements suivants :

M : « la facture prélevée provient de l’atelier de mécanique » ;

C : « la facture prélevée provient de l’atelier de carrosserie » ;

D : « la facture est erronée ».

1. Déduire des informations figurant dans l’énoncé les probabilités P(M), P(C), PM(D) et PC(D).

2. Construire un arbre pondéré traduisant la situation décrite dans l’énoncé.

3. Traduire par une phrase l’événement M D et déterminer sa probabilité.

4. Démontrer que P(D) = 0,016 5.

5. Calculer la probabilité que la facture prélevée provienne de l’atelier de carrosserie sachant qu’elle est erronée. Arrondir à 10–4.

B. Loi binomiale

Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à 10–2.

À la fin d’un autre mois, on considère une liasse importante de factures. On note E l’événement : « une facture prélevée au hasard dans la liasse de factures est erronée ».

On suppose que P(E) = 0,03. On prélève au hasard 20 factures dans la liasse pour vérification. La liasse contient assez de factures pour qu’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 factures. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de factures erronées de ce prélèvement.

On admet que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,03.

1. Calculer la probabilité qu’aucune facture de ce prélèvement ne soit erronée.

2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux factures soient erronées.

C. Loi normale

Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à 10–2.

À la fin d’un autre mois, on s’intéresse au montant de l’ensemble des factures éditées pendant ce mois.

On note Y la variable aléatoire qui, à chaque facture prélevée au hasard dans l’ensemble des factures établies pendant le mois, associe son montant en euros. On suppose que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 800 et d’écart type 400.

Calculer la probabilité qu’une facture prélevée au hasard dans l’ensemble des factures établies pendant le mois soit comprise entre 600 euros et 2 000 euros.

D. Intervalle de fluctuation à au moins 95 % d’une fréquence

Au mois de décembre, 22 % des factures concernaient des véhicules de marques étrangères. Déterminer un intervalle de fluctuation à au moins 95 % de la fréquence des factures concernant un véhicule de marque étrangère dans un échantillon de 400 factures prélevées au hasard dans les factures de décembre.

Corrigé

A. 1. • 65 % des factures proviennent de l’atelier de mécanique d’où : P(M) = 0,65.

C=M, d’où : P(C) = 1 – 0,65 = 0,35.

• 2 % des factures provenant de l’atelier de mécanique sont erronées, d’où : PM(D) = 0,02.

• 1 % des factures provenant de l’atelier de carrosserie sont erronées, d’où : PC(D) = 0,01.

2. 

12934_Math_55_stdi

On peut se reporter au paragraphe .

3. MD est l’événement : « la facture provient de l’atelier de mécanique et est erronée ».

P(MD) = P(M) × PM(D)

P(MD) = 0,65 × 0,02 = 0,013.

Voir la règle 2 du paragraphe .

4. P(D) = P(MD) + P(CD).

P(D) = 0,013 + 0,35 × 0,01 = 0,016 5.

On utilise la définition du paragraphe .

5. PD(C)=P(CD)P(D).

P(CD) = 0,35 × 0,01 = 0,003 5.

D’où PD(C)=0,00350,01650,2121.

Les calculs sont effectués avec la calculatrice, voir au paragraphe E.

B. 1. P(X = 0) ≈ 0,54.

2. P(X ≤ 2) ≈ 0,98.

C. P(600 ≤ Y ≤ 2 000) ≈ 0,69.

D. L’intervalle de fluctuation est, avec p = 0,22 et n = 400 :

[p1n,p+1n]=[0,221400;0,22+1400]=[0,17;0,27]