Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STMG | Thème(s) : Probabilités

Quatrième exercice de type Bac – Ajustement affine, probabilités conditionnelles, loi normale, intervalle de confiance

Une entreprise fabrique des chaudières de deux types : dites de type 1 et de type 2.

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

A. Ajustement affine

Le nombre de chaudières fabriquées lors des années précédentes est donné par le tableau suivant :

PB_9782216129348_T_STMG_08_Maths_Tab_2

1. À l’aide d’une calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement de y en x, sous la forme y = axb, où a sera arrondi à 10–3 et b sera arrondi à l’unité.

2. Dans cette question on prend comme droite d’ajustement la droite d’équations y = 0,41x + 15.

En supposant que la tendance observée se poursuive pendant deux années, estimer le nombre de chaudières qui seront fabriquées l’année de rang 7.

B. Probabilités conditionnelles

En un mois 60 % des chaudières fabriquées ont été de type 1 et 40 % des chaudières fabriquées ont été de type 2.

Dans ce lot, 1 % des chaudières de type 1 sont défectueuses et 5 % des chaudières de type 2 sont défectueuses.

On prélève au hasard une chaudière dans la production de ce mois. Toutes les chaudières ont la même probabilité d’être prélevées.

On considère les événements suivants :

A : « La chaudière est de type 1 » ;

B : « La chaudière est de type 2 » ;

D : « La chaudière présente un défaut ».

1. Déterminer P(A), P(B), PA(D) et PB(D).

2. Construire un arbre de probabilités traduisant la situation décrite dans l’énoncé.

3. Démontrer que P(D) = 0,026.

C. Loi normale

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans le parc installé il y a cinq ans, associe la durée nécessaire, en minutes, pour une révision. On admet que X suit la loi normale de moyenne 60 et d’écart type 15.

L’allure de la courbe en cloche correspondant à cette loi normale est donnée en annexe. L’égalité P(X ≤ 40) = 0,0912 est illustrée sur la figure. Calculer la probabilté que la révision d’une chaudière prélevée au hasard dans le parc installé il y a cinq ans dure plus de 40 minutes.

D. Intervalle de confiance

On considère un échantillon de 100 chaudières prélevées au hasard dans un stock important. Ce stock est assez important pour qu’on puisse assimiler ce tirage avec remise.

On constate que 89 chaudières sont sans aucun défaut.

1. Calculer la fréquence f des chaudières défectueuses dans ce prélèvement.

2. On note p la proportion inconnue des chaudières défectueuses dans le stock.

a) Déterminer un intervalle de confiance de la proportion p avec le coefficient de confiance 95 %.

b) On considère l’affirmation suivante : « la fréquence des chaudières défectueuses dans le stock appartient obligatoirement à l’intervalle obtenu à la question précédente ».

Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse.

Annexe

12934_Math_57_stdi

Corrigé

A. 1. On obtient : y = 0,406x + 15.

Pour obtenir une équation d’une droite d’ajustement avec une calculatrice, se reporter au paragraphe C du chapitre 4.

2. 0,406 × 7 + 15 = 17,842.

L’année de rang 7, on fabriquera 17 842 chaudières.

B. 1. • 60 % des chaudières fabriquées sont de type 1, d’où : P(A) = 0,60.

• 40 % des chaudières fabriquées sont de type 2, d’où : P(B) = 0,40.

• 1 % des chaudières de type 1 sont défectueuses, d’où : PA(D) = 0,01.

• 5 % des chaudières de type 2 sont défectueuses, d’où : PB(D) = 0,05.

2. 

12934_Math_56_stdi

On applique les règles 1 et 2 du paragraphe de ce chapitre.

3. P(D) = P(AD) + (P(BD).

P(AD) = P(A) × PA(D) = 0,6 × 0,01 = 0,006.

P(BD) = P(B) × PB(D) = 0,4 × 0,05 = 0,020.

P(D) = 0,006 + 0,020 = 0,026.

C. P(X ≥ 40) = 1 – P(X ≤ 40) ≈ 0,9088.

D. 1. La fréquence f des chaudières défectueuses est : f=11100=0,11.

On peut se reporter au paragraphe B 
de ce chapitre.

2. a. Un intervaLe de confiance avec le niveau de confiance 95 % de la proportion des chaudières défectueuses dans l’ensemble des chaudières du stock est :.lle de confiance avec le niveau de confiance 95 % de la proportion des chaudières défectueuses dans l’ensemble des chaudières du stock est :

f1n,f+1n=[0,01;0,21]=[1%,21%].

b. L’affirmation n’est pas vraie, car le niveau de confiance est 95 % et non 100 %.