Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Probabilités et statistique

Premier exercice de type Bac – Loi exponentielle

T est la variable aléatoire qui, à toute lampe d’un certain type prélevée au hasard dans un stock important, associe sa durée de bon fonctionnement (en heures) avant qu'elle cesse de fonctionner. On suppose que T suit la loi exponentielle de paramètre 0,000 4.

1. Donner la fonction de densité de T.

2. Calculer les probabilités des événements suivants (arrondir à 10–2) :

A : « la durée de bon fonctionnement de la lampe prélevée est comprise entre 2 000 h et 2 800 h »,

B : « la durée de bon fonctionnement de la lampe prélevée est inférieure à 3 000 h »,

C : « la durée de bon fonctionnement de la lampe prélevée est supérieure à 2 500 h »,

D : « la durée de bon fonctionnement de la lampe prélevée est égale à 2 800 h ».

3. Déterminer l’espérance E(T) et donner une interprétation du résultat dans le contexte de l’énoncé.

Corrigé

1. La fonction de densité de T est définie sur [0, + ∞[ par : f(t)=0,0004e0,0004t.

Si f = ueu

F = eu

2. • P(A)=200028000,0004e0,0004tdt=e0,0004t20002800 ;

P(A)=e1,12+e0,80,12.

• P(B)=030000,0004e0,0004tdt=e0,0004t03000 ;

P(B)0,70.

• P(C)=P(X>2500)=1P(X2500).

P(X2500)=025000,0004e0,0004tdt=e0,0004t02500 ;

P(X2500)=1e1. Donc P(C)=e10,37.

• P(D) = 0

3. E(T)=1λ=2500heures.

Pour un très grand nombre de lampes de ce type, la moyenne des durées de bon fonctionnement est voisine de 2 500 heures.