Probabilités

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle STI2D - Tle STL | Thème(s) : Probabilités et statistique

Troisième exercice de type Bac – Approximation d’une loi binomiale
par une loi normale

Dans cette activité chaque probabilité demandée est à arrondir à 10–4.

Une enquête permet d’estimer que la probabilité qu’une lettre, prélevée au hasard dans le courrier d’une entreprise, parvienne à son destinataire en France, le lendemain, est 0,7.

Dans la suite, on ne considère que les lettres à destination de la France.

À l’agence de Marne-la-Vallée d’une grande entreprise, on admet que l’on expédie 100 lettres par jour. On note X la variable aléatoire qui, à un jour tiré au hasard, associe le nombre de lettres qui parviendront à leur destinataire le lendemain. On suppose que les acheminements de ces lettres sont indépendants.

1. Loi binomiale

a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer l’espérance mathématique de X, puis la valeur arrondie à 10–1 de l’écart type de X.

c. Calculer la probabilité que 60 lettres exactement, sur les 100 expédiées un jour tiré au hasard parviennent à leur destinataire le lendemain.

2. Approximation d’une loi binomiale par une loi normale

On décide d’approcher la loi de la variable discrète X par la loi normale de paramètres µ et σ.

a. Donner les valeurs de µ et σ.

b. On note Y une variable aléatoire suivant cette loi normale.

En utilisant cette approximation calculer la probabilité qu’au moins 80 des 100 lettres, expédiées un jour tiré au hasard, parviennent à leur destinataire le lendemain, c’est-à-dire P(Y ≥ 80).

c. Calculer de même la probabilité que le nombre de lettres, sur les 100 expédiées un jour choisi au hasard, parvenant à leur destinataire le lendemain, soit compris entre 55 et 85.

d. Comparer ce dernier résultat à la valeur P(55 ≤ X ≤ 85) ≈ 0,998 8 obtenue avec la loi binomiale définie au 1..

Corrigé

1. a. La variable aléatoire X mesure le nombre de succès dans la répétition de façon identique et indépendante de 100 épreuves de Bernoulli de paramètre p = 0,7. Donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,03.

b. E(X) = 70 et σ(X) ≈ 4,6. c. P(X = 60) ≈ 0,008 5.

2. a. La loi normale approchant une loi binomiale a même espérance et même écart type : donc µ = 70 et σ ≈ 4,6.

b. P(Y ≥ 80) ≈ 0,014 9.

c. P(55 ≤ Y ≤ 85) ≈ 0,998 9.

d. Ce dernier résultat est très proche de celui obtenu avec la loi binomiale.