Probabilités et suites

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Probabilités et suites

Probabilités conditionnelles

Corrigé

34

Ens. spécifique

matT_1200_00_63C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Louis et Arthur jouent à un jeu de société dans lequel il n’y a pas d’égalité.

Les deux joueurs ont la même probabilité de gagner la première partie.

En revanche, si Louis gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7 ; s’il perd, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,9.

étant un entier naturel non nul, on note l’événement : « Louis gagne la n-ième partie ».

PARTIE A

Deux parties

On suppose, ici, que Louis et Arthur font deux parties.

>1. Décrire l’énoncé à l’aide d’un arbre de probabilités. (0,5 point)

>2. Calculer la probabilité que Louis gagne les deux parties. (0,5 point)

>3. Démontrer que . (0,5 point)

>4. Sachant que Louis a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu’il ait gagné la première ? (0,5 point)

>5. Les événements et sont-ils indépendants ? (0,5 point)

PARTIE B

Plusieurs parties

On suppose, ici, que les joueurs font plusieurs parties.

étant un entier naturel non nul, on note : .

>1. À l’aide de l’énoncé, donner les valeurs de , et . (0,5 point)

>2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, . (0,5 point)

>3. Pour tout entier naturel non nul, on pose : .

Démontrer que la suite est géométrique de raison . (0,5 point)

>4. Exprimer en fonction de , puis en fonction de . (0,5 point)

>5. Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat. (0,5 point)

Durée conseillée : 50 min.

Les thèmes en jeu

Probabilités conditionnelles • Suites numériques.

Les conseils du correcteur

Partie A

>  1. L’énoncé donne les probabilités conditionnelles et  : commencez l’arbre par les événements et .

>  2. Utilisez la formule des probabilités conditionnelles. → fiche  C48 

>  3. Utilisez la formule des probabilités totales. → fiche  C47 C 

>  4. Appliquez à nouveau la formule des probabilités conditionnelles. → fiche  C48 

>  5. Calculez et .

Concluez en vous référant à la fiche  C49 

Partie B

>  2. Utilisez la formule des probabilités totales. → fiche  C47 C 

>  3. Exprimez vn+1 en fonction de pn puis de vn.

>  4. et >  5. Utilisez les propriétés des suites géométriques. → fiche  C22 

Corrigé

PARTIE A

>1. Construire un arbre de probabilités


Les deux joueurs ont la même probabilité de gagner la première partie, donc .

Si Louis gagne la première partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7, donc

.

Si Louis perd la première partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,9, donc

.

On complète l’arbre en utilisant les propriétés d’un arbre de probabilités.

>2. Calculer la probabilité d’une intersection à l’aide d’un arbre

« Louis gagne les deux parties » correspond à l’événement . On a :

.

La probabilité que Louis gagne les deux parties est donc 0,35.

>3. Calculer à l’aide d’un arbre

D’après la formule des probabilités totales et en suivant les chemins et sur l’arbre de probabilités :

>4. Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité que Louis ait gagné la première partie sachant qu’il a gagné la seconde est le nombre . On calcule :

.

La probabilité que Louis ait gagné la première partie, sachant qu’il a gagné la deuxième est 0,875.

>5. Étudier l’indépendance de deux événements

D’une part .

D’autre part . Ainsi .

Les événements et ne sont donc pas indépendants.

PARTIE B

>1. Traduire l’énoncé en termes de probabilités

D’après l’énoncé, les deux joueurs ont la même probabilité de gagner la première partie donc . Si Louis gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7 donc .

Si Louis perd une partie, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,9 donc .

Par conséquent, .

>2. Utiliser la formule des probabilités totales

Pour tout entier naturel  non nul, d’après la formule des probabilités totales : .

Ainsi : .

Comme , on obtient pour tout entier naturel  non nul :

soit .

>3. Démontrer qu’une suite est géométrique

Pour tout entier naturel non nul : .

Or donc, pour tout entier naturel non nul, .

est donc une suite géométrique de raison .

>4. Exprimer le terme général d’une suite géométrique

.

est la suite géométrique de raison et de premier terme donc, pour tout entier naturel  non nul, .

Comme , alors et on en déduit que, pour tout entier naturel  non nul :

.

>5. Calculer la limite d’une suite

Comme , il s’ensuit que .

Par produit, et, par somme, .

Si Louis et Arthur jouent un très grand nombre n de parties, Louis a une chance sur quatre de gagner la n-ième partie.