Probabilités et suites

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Probabilités et suites

Probabilités conditionnelles

Corrigé

34

Ens. spécifique

matT_1200_00_63C

Sujet inédit

Exercice • 5 points

Louis et Arthur jouent à un jeu de société dans lequel il n’y a pas d’égalité.

Les deux joueurs ont la même probabilité de gagner la première partie.

En revanche, si Louis gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la suivante est 0,7  s’il perd, la probabilité qu’il perde la suivante est 0,9.

étant un entier naturel non nul, on note l’événement  : «  Louis gagne la n-ième partie  ».

PARTIE A

Deux parties

On suppose, ici, que Louis et Arthur font deux parties.

>1.  Décrire l’énoncé à l’aide d’un arbre de probabilités. (0,5 point)

>2.  Calculer la probabilité que Louis gagne les deux parties. (0,5 point)

>3.  Démontrer que . (0,5 point)

>4.  Sachant que Louis a gagné la deuxième partie, quelle est la probabilité qu’il ait gagné la première  ? (0,5 point)

>5.  Les événements et sont-ils indépendants  ? (0,5 point)

PARTIE B

Plusieurs parties

On suppose, ici, que les joueurs font plusieurs parties.

étant un entier naturel non nul, on note  : .

>1.  &Agrave l’aide de l’énoncé, donner les valeurs de , et . (0,5 point)

>2.  Montrer que, pour tout entier naturel non nul, . (0,5 point)

>3.  Pour tout entier naturel non nul, on pose  : .

Démontrer que la suite est géométrique de raison . (0,5 point)

>4.  Exprimer en fonction de , puis en fonction de . (0,5 point)

>5.  Calculer la limite de la suite et interpréter ce résultat. (0,5  point)

Durée conseillée  : 50  min.

Les thèmes en jeu

Probabilités conditionnelles • Suites numériques.

Les conseils du correcteur

Partie A

>    1.  L’énoncé donne les probabilités conditionnelles et   : commencez l’arbre par les événements et .

>    2.  Utilisez la formule des probabilités conditionnelles. →  fiche    C48 

>    3.  Utilisez la formule des probabilités totales. →  fiche    C47 C 

>    4.  Appliquez à nouveau la formule des probabilités conditionnelles. →  fiche    C48 

>    5.  Calculez et .

Concluez en vous référant à la fiche    C49 

Partie B

>    2.  Utilisez la formule des probabilités totales. →  fiche    C47 C 

>    3.  Exprimez vn+1 en fonction de pn puis de vn.

>    4.  et >    5. Utilisez les propriétés des suites géométriques. →  fiche    C22