Probabilités, suites et algorithme

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Probabilités, suites et algorithme
 
 

Probabilités conditionnelles

Corrigé

30

Ens. Spécifique

matT_1304_12_10C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 4 • 6 points

Dans une entreprise, on s’intéresse à la probabilité qu’un salarié soit absent durant une période d’épidémie de grippe.

  • Un salarié malade est absent.
  • La première semaine de travail, le salarié n’est pas malade.
  • Si la semaine n le salarié n’est pas malade, il tombe malade la semaine n+ 1 avec une probabilité égale à 0,04.
  • Si la semaine n le salarié est malade, il reste malade la semaine n + 1 avec une probabilité égale à 0,24.

On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par En l’événement « le salarié est absent pour cause de maladie la n-ième semaine ». On note pn la probabilité de l’événement En.

On a ainsi p1= 0 et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 : 0 pn< 1.

>1.a) Déterminer la valeur de p3 à l’aide d’un arbre de probabilités.

b) Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.


 

>2.a) Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-contre.

b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, pn+1 = 0,2pn + 0,04.

c) Montrer que la suite (un) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par un = pn – 0,05 est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison r.

En déduire l’expression de un puis de pn en fonction de n et r.

d) En déduire la limite de la suite (pn).

e) On admet dans cette question que la suite (pn) est croissante. On considère l’algorithme suivant :

 

Variables

K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel

Initialisation

P prend la valeur 0

J prend la valeur 1

Entrée

Saisir la valeur de K

Traitement

Tant que P< 0,05 − 10−K

P prend la valeur 0,2 × P + 0,04

J prend la valeur J + 1

Fin tant que

Sortie

Afficher J

 

À quoi correspond l’affichage final J ?

Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s’arrête ?

>3. Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu’un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d’épidémie est égale à p= 0,05.

On suppose que l’état de santé d’un salarié ne dépend pas de l’état de santé de ses collègues.

On désigne par X la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée.

a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

Calculer l’espérance mathématique μ et l’écart type σ de la variable aléatoire X.

b) On admet que l’on peut approcher la loi de la variable aléatoire par la loi normale centrée réduite c’est-à-dire de paramètres 0 et 1.

On note Z une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Le tableau suivant donne les probabilités de l’événement (Z < x) pour quelques valeurs du nombre réel x.

 

x

− 1,55

− 1,24

− 0,93

− 0,62

− 0,31

0,00

0,31

0,62

0,93

1,24

1,55

P(Z< x)

0,061

0,108

0,177

0,268

0,379

0,500

0,621

0,732

0,823

0,892

0,939

 

Calculer, au moyen de l’approximation proposée ci-dessus, une valeur approchée à 10−2 près de la probabilité de l’événement : « le nombre de salariés absents dans l’entreprise au cours d’une semaine donnée est supérieur ou égal à 7 et inférieur ou égal à 15 ».

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Loi binomiale • Loi normale • Suites • Algorithme.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Suites  E2 • E4b • E4d  → 2. c), 2. d) et 2. e)
  • Conditionnement et probabilité  E35 • E37 1. a), 1. b), 2. a) et 2. b)
  • Variable aléatoire discrète et loi binomiale  E39 3. a)
  • Variable aléatoire continue et loi normale  E40d • E40e  → 3. b)

Calculatrice

Calcul d’une probabilité associée à une loi normale  C3 3. b)

Nos coups de pouce

>2. b) Pensez à calculer la probabilité de l’événement .

Corrigé

>1.a) Calculer une probabilité à l’aide d’un arbre pondéré


 

D’après l’arbre pondéré ci-dessus :

.

Or et .

On a donc finalement :

La probabilité demandée est égale à 0,048.

b) Calculer une probabilité conditionnelle

On doit ici calculer . Par définition :

Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, la probabilité qu’il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine est égale à 0,2.

>2.a) Construire un arbre pondéré


 

b) Établir une égalité à l’aide d’un arbre pondéré

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

c) Déterminer la formule explicite pour une suite

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

La suite est donc une suite géométrique de raison r= 0,2 et de premier terme .

On obtient ainsi, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

et par suite .

d) Déterminer la limite d’une suite

Comme – 1 < 0,2 < 1, on en déduit que .

Par produit et différence, on obtient .

e) Analyser un algorithme

L’affichage final de J correspond au plus petit entier n à partir duquel pn est supérieur ou égal à .

La limite de la suite () est égale à 0,05. Par définition, cela signifie que tout intervalle ouvert contenant 0,05 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Ainsi tout intervalle de la forme contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Soit n0 le plus petit des indices tel que soit dans l’intervalle .

Comme () est croissante, tous les termes dont l’indice est inférieur à ne sont pas dans l’intervalle précédent ; tous les termes dont l’indice est supérieur ou égal à sont dans l’intervalle précédent. L’algorithme s’arrête donc et affiche .

>3.a) Démontrer qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale

On a une épreuve de Bernoulli : on choisit un salarié au hasard.

Succès : « le salarié est malade » de probabilité p= 0,05.

Échec : « le salarié n’est pas malade » de probabilité .

On répète 220 fois cette expérience, les répétitions étant identiques et indépendantes.

On a donc un schéma de Bernoulli d’ordre 220.

La variable aléatoire compte le nombre de succès dans ce schéma de Bernoulli.

suit donc la loi binomiale de paramètres et .

et .

b) Calculer une probabilité avec une loi normale

On souhaite calculer . Les événements () et (­) sont équivalents.

Posons , Z suit la loi normale centrée réduite.

On a donc : .

Cette probabilité est l’aire du domaine D situé sous la courbe de la densité f associée à la variable aléatoire Z sur l’intervalle .


 

Une valeur arrondie à deux décimales de est 1,24.

On obtient ainsi directement à la calculatrice :

.

On peut aussi utiliser la table fournie et remarquer avec les aires sur le graphique précédent que :

La probabilité demandée est d’environ 0,78.