Probabilités conditionnelles
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Ens. spécifique
27
CORRIGE
Polynésie française • Juin 2014
Exercice 3 • 5 points
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Affirmation n° 1 : « Zoé utilise la voiture un jour sur deux. »
Affirmation n° 2 : « Si A et B sont indépendants, alors A et 
sont aussi indépendants. »
Affirmation n° 3 : « La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 environ. »
Affirmation n° 4 : « Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes. »
Affirmation n° 5 : « On ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l'ensemble de la population. »
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Arbre pondéré • Indépendance • Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
Propriétés et formules
- Construction et utilisation d'un arbre pondéré
E37 → 1. - Événements indépendants et incompatibles
E34 • E36 → 2. - Propriétés associées à la loi exponentielle
E40 a • E40 c • E41 c → 3. - Prise de décision et intervalle de fluctuation
E43 → 4.
Calculatrice
- Calcul d'une probabilité associée à une loi binomiale
C2 → 4.
Nos coups de pouce
Affirmation 2. Justifiez que 
. Puis utilisez l'indépendance des événements A et B pour conclure.
> 1. Calculer une probabilité à partir d'un arbre pondéré
Notez bien
L'événement contraire de l'événement V est « Zoé se rend à son travail à pied ».
Nous notons R l'événement « il pleut » (R pour « rain ») et V l'événement « Zoé se rend en voiture à son travail ». Comme, là où elle habite, il pleut un jour sur quatre, 
S'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas, ainsi 
. S'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6, 
Ce que nous pouvons résumer par l'arbre pondéré suivant :
L'événement « Zoé utilise la voiture » est associé à deux feuilles 
et 
De ce fait, par la formule des probabilités totales, nous avons :
> 2. Démontrer l'indépendance de deux événements
Supposons que les événements A et B soient indépendants. L'événement A peut s'écrire comme une réunion de deux événements : 
. Ces deux événements étant incompatibles, nous avons :
Par conséquent, 
Ce qui implique que les événements A et 
sont également indépendants.
> 3. Calculer une probabilité et une espérance dans le cadre d'une loi exponentielle
Notez bien
Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre 
est :
.
- La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est :
- L'espérance de la variable aléatoire
qui suit la loi exponentielle de paramètre 
est donnée par
.
Le temps d'attente moyen à ce guichet est donc inférieur à 2 minutes.
> 4. Prendre une décision à partir d'un intervalle de fluctuation
La proportion de personnes du groupe sanguin A+ dans la population française est 0,39.
Comme nous cherchons à savoir si cette proportion est respectée parmi les donneurs de sang, supposons que ce soit le cas. Autrement dit, supposons que la proportion 
de donneurs de sang du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est 0,39.
183 donneurs ont été interrogés, la taille n de l'échantillon est donc 183.
Première méthode : « intervalle de fluctuation asymptotique »
Comme 
et 
l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est défini et donné par :
Deuxième méthode : « intervalle de fluctuation déterminé à partir de la loi binomiale »
Appelons 
la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de taille 183, associe le nombre de personnes du groupe sanguin A+. Cette variable aléatoire 
suit la loi binomiale de paramètres 
et
- Déterminons le plus petit entier
tel que 
. À l'aide de la calculatrice, 
et 
.
Donc 
.
- Déterminons le plus petit entier
tel que 
À l'aide de la calculatrice, 
et 
.
Donc 
.
L'intervalle de fluctuation au seuil 0,95 déterminé à partir de la loi binomiale est donc 
.
Conclusion
Parmi les donneurs interrogés, 34 % sont du groupe sanguin A+. La fréquence observée f de personnes de groupe sanguin A+ dans l'échantillon est donc 
. Comme cette fréquence appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique (1reméthode) ou à l'intervalle de fluctuation déterminé à partir de la loi binomiale (2eméthode), nous ne pouvons pas rejeter l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l'ensemble de la population.