Probabilités : vrai ou faux

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Polynésie française
Corpus Corpus 1
Probabilités : vrai ou faux

Probabilités conditionnelles

matT_1406_13_04C

Ens. spécifique

27

CORRIGE

Polynésie française • Juin 2014

Exercice 3 • 5 points

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.

>1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas. Lorsqu’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.

Affirmation n° 1 : « Zoé utilise la voiture un jour sur deux. »

>2. Dans l’ensemble E des issues d’une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B.

Affirmation n° 2 : « Si A et B sont indépendants, alors A et sont aussi indépendants. »

>3. On modélise le temps d’attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre 0,7.

Affirmation n° 3 : « La probabilité qu’un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 environ. »

Affirmation n° 4 : « Le temps d’attente moyen à ce guichet est de sept minutes. »

>4. On sait que 39 % de la population française est du groupe sanguin A+. On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge 183 donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont du groupe sanguin A+.

Affirmation n° 5 : « On ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l’hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l’ensemble de la population. »

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Arbre pondéré • Indépendance • Loi exponentielle • Intervalle de fluctuation.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

Propriétés et formules

  • Construction et utilisation d’un arbre pondéré  E37 1.
  • Événements indépendants et incompatibles  E34 • E36 2.
  • Propriétés associées à la loi exponentielle  E40a • E40c • E41c  → 3.
  • Prise de décision et intervalle de fluctuation  E43 4.

Calculatrice

  • Calcul d’une probabilité associée à une loi binomiale  C2 4.

Nos coups de pouce

Affirmation 2. Justifiez que . Puis utilisez l’indépendance des événements A et B pour conclure.

Corrigé
Corrigé

>1. Calculer une probabilité à partir d’un arbre pondéré

Notez bien

L’événement contraire de l’événement V est « Zoé se rend à son travail à pied ».

Nous notons R l’événement « il pleut » (R pour « rain ») et V l’événement « Zoé se rend en voiture à son travail ». Comme, là où elle habite, il pleut un jour sur quatre, S’il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas, ainsi . S’il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6,

Ce que nous pouvons résumer par l’arbre pondéré suivant :


L’événement « Zoé utilise la voiture » est associé à deux feuilles et De ce fait, par la formule des probabilités totales, nous avons :

L’affirmation 1 est vraie.

>2. Démontrer l’indépendance de deux événements

Supposons que les événements A et B soient indépendants. L’événement A peut s’écrire comme une réunion de deux événements : . Ces deux événements étant incompatibles, nous avons :

Par conséquent,

Ce qui implique que les événements A et sont également indépendants.

L’affirmation 2 est vraie.

>3. Calculer une probabilité et une espérance dans le cadre d’une loi exponentielle

Notez bien

Une primitive de la densité associée à une loi exponentielle de paramètre est :

.

  • La probabilité qu’un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est :

L’affirmation 3 est fausse.

  • L’espérance de la variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre est donnée par

.

Le temps d’attente moyen à ce guichet est donc inférieur à 2 minutes.

L’affirmation 4 est fausse.

>4. Prendre une décision à partir d’un intervalle de fluctuation

La proportion de personnes du groupe sanguin A+ dans la population française est 0,39.

Comme nous cherchons à savoir si cette proportion est respectée parmi les donneurs de sang, supposons que ce soit le cas. Autrement dit, supposons que la proportion de donneurs de sang du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est 0,39.

183 donneurs ont été interrogés, la taille n de l’échantillon est donc 183.

Première méthode : « intervalle de fluctuation asymptotique »

Comme et l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est défini et donné par :

Deuxième méthode : « intervalle de fluctuation déterminé à partir de la loi binomiale »

Appelons la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de taille 183, associe le nombre de personnes du groupe sanguin A+. Cette variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres et

  • Déterminons le plus petit entier tel que . À l’aide de la calculatrice, et .

Donc .

  • Déterminons le plus petit entier tel que À l’aide de la calculatrice, et .

Donc .

L’intervalle de fluctuation au seuil 0,95 déterminé à partir de la loi binomiale est donc .

Conclusion

Parmi les donneurs interrogés, 34 % sont du groupe sanguin A+. La fréquence observée f de personnes de groupe sanguin A+ dans l’échantillon est donc . Comme cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation asymptotique (1reméthode) ou à l’intervalle de fluctuation déterminé à partir de la loi binomiale (2eméthode), nous ne pouvons pas rejeter l’hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l’ensemble de la population.

L’affirmation 5 est vraie.