Utiliser la notion de fonction
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exercice 5
La piscine du camping « Le Rocher » dispose d’un bassin circulaire de forme cylindrique de rayon 3,60 m et de hauteur 1,50 m. En fin de saison, on utilise une pompe dont le débit est de 14,1 m3/h pour vider l’eau de la piscine.
▶ 1. Montrer que le volume du bassin, arrondi au dixième de m3, est 61,1 m3.
▶ 2. Le bassin est plein. On met en route la pompe. Au bout de 2 heures, quel volume d’eau en m3 reste-t-il à vider ?
On considère la fonction V : t ↦ 61,1 − 0,235t.
▶ 3. a) Montrer que l’expression V(t) permet de déterminer le volume d’eau en m3 qu’il reste à vider dans le bassin en fonction de la durée t, exprimée en minutes, d’utilisation de la pompe.
b) Calculer le temps nécessaire pour que le volume d’eau restant à vider soit égal à 30 m3.
On donnera une valeur approchée à la minute près.
▶ 4. On a tracé ci-dessous une partie de la représentation graphique de la fonction V.
Répondre aux questions suivantes par une lecture graphique.
a) Déterminer l’antécédent de 40 par la fonction V. Interpréter le résultat.
b) Déterminer le temps nécessaire pour que la pompe vide complètement le bassin.
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
Cet exercice est une modélisation d’une situation concrète. L’utilisation des fonctions et des équations permettent de répondre à certaines questions la concernant.
Nos coups de pouce, question par question
▶ 1. Calculer le volume d’un cylindre | La formule du volume d’un cylindre est π × R² × h. |
▶ 2. Utiliser la notion de débit | Traduis par une phrase ce que signifie « un débit de 14,1 m3/h ». |
▶ 3. a) et b) Produire et utiliser une expression littérale | a) Pense à convertir le débit de l’énoncé en m3/min et rappelle-toi que la formule est : . b) Résous algébriquement l’équation V(t) = 30. |
▶ 4. b) Utiliser la représentation graphique d’une fonction | Le bassin est vide lorsque V(t) = 0. Sers-toi de cette information pour lire la solution graphiquement. |
▶ 1. Le bassin a la forme d’un cylindre de rayon 3,60 m et de hauteur 1,50 m.
Volume = ≈ 61,07 m3.
On en déduit que l’arrondi au dixième de ce volume est de 61,1 m3.
▶ 2. La pompe a un débit de 14,1 m3/h, c’est-à-dire que cet appareil pompe 14,1 m3 d’eau en 1 heure.
Au bout de 2 heures, la pompe aura retiré 2 × 14,1 = 28,2 m3 d’eau du bassin.
61,1 – 28,2 = 32,9
Il restera donc dans le bassin 32,9 m3 d’eau.
Le volume d’eau restant dans le bassin après t minutes est égal à la différence du volume du bassin plein par le volume d’eau pompé en t minutes. On en déduit que V(t) = 61,1 − débit (m3/min) × t.
Il faut donc convertir le débit en m3/min. La pompe retire du bassin 14,1 m3 d’eau en 1 heure (soit 60 minutes).
En 1 minute, elle retire 14,1 ÷ 60 = 0,235 m3 d’eau : son débit est de 0,235 m3/min.
rappel
donc volume = débit × durée.
Ainsi, en remplaçant dans l’expression de V(t), on a :
V(t) = 61,1 − 0,235 × t = 61,1 − 0,235t.
b) Il faut résoudre l’équation V(t) = 30 :
61,1 - 0,235t = 30
- 0,235t = - 31,1
t = - 31,1 ÷ (- 0,235) ≈ 132,3
Il reste 30 m3 d’eau à vider dans le bassin au bout d’environ 132 minutes.
▶ 4. a) Graphiquement, l’antécédent de 40 par la fonction V est 90. Cela signifie qu’il reste 40 m3 d’eau dans le bassin après 90 minutes.
b) Le bassin est vidé quand V(t) = 0, c’est-à-dire au bout de 260 minutes.
