Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d'une machine

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient

 

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Liban • Mai 2015

Exercice 3 • 6 points

Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d’une machine

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10–3.

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.

La totalité de la production est réalisée par deux machines 4457808-Eqn56 et 4457808-Eqn57.

La machine 4457808-Eqn58 fournit 40 % de la production totale et 4457808-Eqn59 le reste.

La machine 4457808-Eqn60 produit 2 % de médailles défectueuses et la machine 4457808-Eqn61 produit 3 % de médailles défectueuses.

Partie A

On prélève au hasard une médaille fabriquée par l’entreprise et on considère les événements suivants :

4457808-Eqn62 : « la médaille provient de la machine 4457808-Eqn63 » ;

4457808-Eqn64: « la médaille provient de la machine 4457808-Eqn65 » ;

4457808-Eqn66 : « la médaille est défectueuse » ;

4457808-Eqn67 est l’événement contraire de 4457808-Eqn68.

 1. a) Traduire cette situation par un arbre pondéré. (0,5 point)

b) Montrer que la probabilité qu’une médaille soit défectueuse est égale à 0,026. (0,5 point)

c) Calculer la probabilité qu’une médaille soit produite par la machine 4457808-Eqn69 sachant qu’elle est défectueuse. (0,75 point)

 2. Les médailles produites sont livrées par lots de 20.

On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.

On suppose que la production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.

On note 4457808-Eqn70 la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

a) Préciser la loi que suit 4457808-Eqn71 et donner ses paramètres. (0,75 point)

b) Calculer la probabilité qu’il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot. (0,5 point)

Partie B

Le diamètre, exprimé en millimètre, d’une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu’il appartient à l’intervalle 4457808-Eqn72.

On note 4457808-Eqn73 la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire 4457808-Eqn74 suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type 0,25.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de 4457808-Eqn75.

matT_1505_09_01C_04

 1. Indiquer par lecture graphique la valeur de µ. (0,5 point)

 2. Déterminer à l’aide de la calculatrice la probabilité :

4457808-Eqn76. (0,5 point)

 3. En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de 4457808-Eqn77 pour que :

4457808-Eqn78(0,5 point)

Partie C

Dans le cadre d’un fonctionnement correct de la machine 4457808-Eqn79, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est 3 %.

Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine 4457808-Eqn80, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

 1. Calculer, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l’épaisseur n’est pas conforme. (0,5 point)

 2. Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d’arrêter la production pour procéder au réglage de la machine 4457808-Eqn81. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

 2. c) Si on appelle « succès » l’événement « la médaille est défectueuse », la variable aléatoire 4457808-Eqn157 est égale au nombre de succès lors de la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Partie B

 1. Si 4457808-Eqn158 est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance µ, alors la courbe représentative de sa densité de probabilité a pour axe de symétrie la droite d’équation 4457808-Eqn159.

Partie C

 2. Après avoir vérifié les conditions de validité, utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence relatif aux échantillons de taille 180, dans le cas où la proportion de médailles défectueuses sur l’ensemble des médailles produites est égale à 0,03.

Corrigé

Corrigé

Partie A

 1. a) Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré

matT_1505_09_01C_05

b) Calculer une probabilité

Notez bien

4457808-Eqn253 et 4457808-Eqn254 constituent une partition de l’univers, car une médaille est fabriquée soit par la machine 4457808-Eqn255, soit par la machine 4457808-Eqn256.

La probabilité qu’une médaille soit défectueuse est :

4457808-Eqn257

4457808-Eqn258

4457808-Eqn259

c) Calculer une probabilité conditionnelle

La probabilité qu’une médaille soit produite par la machine 4457808-Eqn260 sachant qu’elle est défectueuse est 4457808-Eqn261.

Par définition d’une probabilité conditionnelle, 4457808-Eqn262 étant non nulle :

4457808-Eqn263

4457808-Eqn265

 2. a) Déterminer la loi d’une variable aléatoire

On répète 20 fois de suite de manière indépendante la même épreuve : prélever une médaille dans la production.

Si on appelle « succès » l’événement « la médaille prélevée est défectueuse », 4457808-Eqn266 compte le nombre de succès lors de ces 20 épreuves, donc 4457808-Eqn267 suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,026, notée 4457808-Eqn268.

b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale

La probabilité qu’il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot est 4457808-Eqn269. D’après la calculatrice :

4457808-Eqn270

Partie B

 1. Déterminer par lecture graphique l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi normale

La courbe donnée a pour axe de symétrie la droite d’équation 4457808-Eqn271. D’où l’espérance de la variable aléatoire 4457808-Eqn272 :

4457808-Eqn273

 2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

D’après la calculatrice :

4457808-Eqn274

 3. Déterminer un intervalle associé à une loi normale et vérifiant une condition donnée

Si 4457808-Eqn275 suit la loi normale d’espérance µ et d’écart type 4457808-Eqn276, alors 4457808-Eqn277 Puisque le réel 4457808-Eqn278 vérifie 4457808-Eqn279 alors 4457808-Eqn280, c’est-à-dire :

4457808-Eqn281

Partie C

 1. Calculer une fréquence

L’échantillon est constitué de 180 médailles, dont 11 ont une épaisseur non conforme, donc, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l’épaisseur n’est pas conforme est :

4457808-Eqn282

 2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation

4457808-Eqn283 (proportion admise de médailles non conformes dans la production). On détermine un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médailles non conformes dans les échantillons de taille 180, en vérifiant au préalable que les conditions d’utilisation de cet intervalle sont remplies :

4457808-Eqn284

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :

4457808-Eqn285.

4457808-Eqn286

4457808-Eqn287

4457808-Eqn288, donc au risque d’erreur de 5 %, on peut considérer que la machine 4457808-Eqn289 est mal réglée (la fréquence de pièces défectueuses dans l’échantillon est trop éloignée de la valeur admise), donc la décision d’arrêter la production pour procéder au réglage de la machine 4457808-Eqn290 est pertinente.