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Liban • Mai 2015
Exercice 3 • 6 points
Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d'une machine
Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10–3.
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.
La totalité de la production est réalisée par deux machines 
et 
.
La machine 
fournit 40 % de la production totale et 
le reste.
La machine 
produit 2 % de médailles défectueuses et la machine 
produit 3 % de médailles défectueuses.
Partie A
On prélève au hasard une médaille fabriquée par l'entreprise et on considère les événements suivants :
: « la médaille provient de la machine 
»
: « la médaille provient de la machine 
»
: « la médaille est défectueuse »
est l'événement contraire de 
.
▶ 1. a) Traduire cette situation par un arbre pondéré. (0,5 point)
b) Montrer que la probabilité qu'une médaille soit défectueuse est égale à 0,026. (0,5 point)
c) Calculer la probabilité qu'une médaille soit produite par la machine 
sachant qu'elle est défectueuse. (0,75 point)
▶ 2. Les médailles produites sont livrées par lots de 20.
On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.
On suppose que la production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.
On note 
la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.
a) Préciser la loi que suit 
et donner ses paramètres. (0,75 point)
b) Calculer la probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot. (0,5 point)
Partie B
Le diamètre, exprimé en millimètre, d'une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu'il appartient à l'intervalle 
.
On note 
la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire 
suit une loi normale de moyenne µ et d'écart-type 0,25.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de 
.
▶ 1. Indiquer par lecture graphique la valeur de µ. (0,5 point)
▶ 2. Déterminer à l'aide de la calculatrice la probabilité :
. (0,5 point)
▶ 3. En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de 
pour que :
(0,5 point)
Partie C
Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la machine 
, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est 3 %.
Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine 
, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.
▶ 1. Calculer, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme. (0,5 point)
▶ 2. Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine 
. (1 point)
Les clés du sujet
Durée conseillée : 50 minutes
Les thèmes en jeu
Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.
Les conseils du correcteur
Partie A
▶ 1. c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.
▶ 2. c) Si on appelle « succès » l'événement « la médaille est défectueuse », la variable aléatoire 
est égale au nombre de succès lors de la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Partie B
▶ 1. Si 
est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance µ, alors la courbe représentative de sa densité de probabilité a pour axe de symétrie la droite d'équation 
.
Partie C
▶ 2. Après avoir vérifié les conditions de validité, utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence relatif aux échantillons de taille 180, dans le cas où la proportion de médailles défectueuses sur l'ensemble des médailles produites est égale à 0,03.
Corrigé
Partie A
▶ 1. a) Traduire une situation probabiliste par un arbre pondéré
b) Calculer une probabilité
Notez bien
et 
constituent une partition de l'univers, car une médaille est fabriquée soit par la machine 
, soit par la machine 
.
La probabilité qu'une médaille soit défectueuse est :
c) Calculer une probabilité conditionnelle
La probabilité qu'une médaille soit produite par la machine 
sachant qu'elle est défectueuse est 
.
Par définition d'une probabilité conditionnelle, 
étant non nulle :
▶ 2. a) Déterminer la loi d'une variable aléatoire
On répète 20 fois de suite de manière indépendante la même épreuve : prélever une médaille dans la production.
Si on appelle « succès » l'événement « la médaille prélevée est défectueuse », 
compte le nombre de succès lors de ces 20 épreuves, donc 
suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,026, notée 
.
b) Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi binomiale
La probabilité qu'il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot est 
. D'après la calculatrice :
Partie B
▶ 1. Déterminer par lecture graphique l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi normale
La courbe donnée a pour axe de symétrie la droite d'équation 
. D'où l'espérance de la variable aléatoire 
:
▶ 2. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
D'après la calculatrice :
▶ 3. Déterminer un intervalle associé à une loi normale et vérifiant une condition donnée
Si 
suit la loi normale d'espérance µ et d'écart type 
, alors 
Puisque le réel 
vérifie 
alors 
, c'est-à-dire :
Partie C
▶ 1. Calculer une fréquence
L'échantillon est constitué de 180 médailles, dont 11 ont une épaisseur non conforme, donc, dans l'échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l'épaisseur n'est pas conforme est :
▶ 2. Déterminer et utiliser un intervalle de fluctuation
(proportion admise de médailles non conformes dans la production). On détermine un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence de médailles non conformes dans les échantillons de taille 180, en vérifiant au préalable que les conditions d'utilisation de cet intervalle sont remplies :
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est :
.
, donc au risque d'erreur de 5 %, on peut considérer que la machine 
est mal réglée (la fréquence de pièces défectueuses dans l'échantillon est trop éloignée de la valeur admise), donc la décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine 
est pertinente.