Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d'une machine

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Moyen-Orient

 

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Liban • Mai 2015

Exercice 3 • 6 points

Production de médailles, défauts de fabrication et réglage d’une machine

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10–3.

Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires.

La totalité de la production est réalisée par deux machines 4457808-Eqn56 et 4457808-Eqn57.

La machine 4457808-Eqn58 fournit 40 % de la production totale et 4457808-Eqn59 le reste.

La machine 4457808-Eqn60 produit 2 % de médailles défectueuses et la machine 4457808-Eqn61 produit 3 % de médailles défectueuses.

Partie A

On prélève au hasard une médaille fabriquée par l’entreprise et on considère les événements suivants :

4457808-Eqn62 : « la médaille provient de la machine 4457808-Eqn63 » ;

4457808-Eqn64: « la médaille provient de la machine 4457808-Eqn65 » ;

4457808-Eqn66 : « la médaille est défectueuse » ;

4457808-Eqn67 est l’événement contraire de 4457808-Eqn68.

 1. a) Traduire cette situation par un arbre pondéré. (0,5 point)

b) Montrer que la probabilité qu’une médaille soit défectueuse est égale à 0,026. (0,5 point)

c) Calculer la probabilité qu’une médaille soit produite par la machine 4457808-Eqn69 sachant qu’elle est défectueuse. (0,75 point)

 2. Les médailles produites sont livrées par lots de 20.

On prélève au hasard un lot de 20 médailles dans la production.

On suppose que la production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. Les tirages sont supposés indépendants.

On note 4457808-Eqn70 la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de médailles défectueuses contenues dans ce lot.

a) Préciser la loi que suit 4457808-Eqn71 et donner ses paramètres. (0,75 point)

b) Calculer la probabilité qu’il y ait au plus une médaille défectueuse dans ce lot. (0,5 point)

Partie B

Le diamètre, exprimé en millimètre, d’une médaille fabriquée par cette entreprise est conforme lorsqu’il appartient à l’intervalle 4457808-Eqn72.

On note 4457808-Eqn73 la variable aléatoire qui, à chaque médaille prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre en millimètre. On suppose que la variable aléatoire 4457808-Eqn74 suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-type 0,25.

La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la densité de probabilité de 4457808-Eqn75.

matT_1505_09_01C_04

 1. Indiquer par lecture graphique la valeur de µ. (0,5 point)

 2. Déterminer à l’aide de la calculatrice la probabilité :

4457808-Eqn76. (0,5 point)

 3. En utilisant un résultat du cours, déterminer la valeur de 4457808-Eqn77 pour que :

4457808-Eqn78(0,5 point)

Partie C

Dans le cadre d’un fonctionnement correct de la machine 4457808-Eqn79, on admet que la proportion des médailles ayant une épaisseur non conforme dans la production est 3 %.

Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine 4457808-Eqn80, on a prélevé au hasard un échantillon de 180 médailles et on a constaté que 11 médailles ont une épaisseur non conforme.

 1. Calculer, dans l’échantillon prélevé, la fréquence des médailles dont l’épaisseur n’est pas conforme. (0,5 point)

 2. Déterminer, en justifiant, si le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d’arrêter la production pour procéder au réglage de la machine 4457808-Eqn81. (1 point)

Les clés du sujet

Durée conseillée : 50 minutes

Les thèmes en jeu

Arbre pondéré • Probabilité conditionnelle • Variable aléatoire • Loi binomiale • Loi à densité, loi normale • Intervalle de fluctuation.

Les conseils du correcteur

Partie A

 1. c) La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

 2. c) Si on appelle « succès » l’événement « la médaille est défectueuse », la variable aléatoire 4457808-Eqn157 est égale au nombre de succès lors de la répétition de 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Partie B

 1. Si 4457808-Eqn158 est une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance µ, alors la courbe représentative de sa densité de probabilité a pour axe de symétrie la droite d’équation 4457808-Eqn159.

Partie C

 2. Après avoir vérifié les conditions de validité, utilisez un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence relatif aux échantillons de taille 180, dans le cas où la proportion de médailles défectueuses sur l’ensemble des médailles produites est égale à 0,03.