Production de paniers de légumes, coût et bénéfice

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Antilles, Guyane

 

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Exercice 3 • 6 points

Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Un producteur de légumes souhaite s’implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ».

PARTIE A

Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2 500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l’achat d’un panier par mois.

1. Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel. (1 point)

2. Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02 ? (0,5 point)

3. La commune compte 15 000 foyers. La condition pour démarrer l’entreprise est de réaliser une recette minimale de 3 500 euros par mois.

Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l’un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse. (1 point)

PARTIE B

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois.

Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

125717-Eqn39

Lorsque 125717-Eqn40 est exprimé en centaines de paniers, 125717-Eqn41 est égal au coût total exprimé en centaines d’euros.

On admet que, pour tout nombre 125717-Eqn42 de l’intervalle [0 ; 10], le coût marginal est donné par la fonction 125717-Eqn43, où 125717-Eqn44 est la fonction dérivée de C.

1. Calculer 125717-Eqn45, le coût marginal pour six cents paniers vendus. (1 point)

2. On note 125717-Eqn46 la fonction dérivée seconde de 125717-Eqn47 et on a :

125717-Eqn48

a) Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe. (0,5 point)

b) Que peut-on dire du point d’abscisse 125717-Eqn49 de la courbe de la fonction 125717-Eqn50 ? Interpréter cette valeur de 125717-Eqn51 en termes de coût. (0,5 point)

PARTIE C

On admet que l’entreprise produit entre 0 et 1 000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier.

La recette mensuelle 125717-Eqn52, exprimée en centaines d’euros, ainsi que la fonction 125717-Eqn53 sont représentées par les courbes 125717-Eqn54 et 125717-Eqn55 sur le graphique donné en annexe.

Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent :

1. Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. (0,5 point)

2. Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s’il produit et vend 500 paniers dans le mois. Donner une valeur approchée à la centaine d’euros. (0,5 point)

3. Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de 5 000 euros dans un mois ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Annexe

matT_1409_04_00C_04

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Dérivée • Convexité • Point d’inflexion

Les conseils du correcteur

Partie A

2. À partir d’un échantillon de taille 125717-Eqn85, on obtient un intervalle de confiance d’amplitude 125717-Eqn86.

3. Utilisez l’intervalle de confiance déterminé à la question 1.

Partie B

2. a) La fonction 125717-Eqn87 est convexe sur l’intervalle I si et seulement si 125717-Eqn88 est positive sur I, elle est concave sur l’intervalle I si et seulement si 125717-Eqn89 est négative sur I.

b) Utilisez le fait qu’en 125717-Eqn90, il y a un « changement de convexité » de la fonction 125717-Eqn91.

Corrigé

Corrigé

PARTIE A

1. Déterminer un intervalle de confiance

La taille de l’échantillon est 125717-Eqn169. La fréquence sur cet échantillon de foyers susceptibles de passer commande d’un panier mensuel est :

125717-Eqn170.

On en déduit qu’un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel est :

125717-Eqn171

125717-Eqn172.

2. Déterminer une taille d’échantillon pour avoir un intervalle de confiance d’amplitude donnée

Si 125717-Eqn173 est la fréquence obtenue sur un échantillon de taille 125717-Eqn174, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion 125717-Eqn175 sur la population totale est :

125717-Eqn176

d’amplitude 125717-Eqn177.

L’amplitude de l’intervalle de confiance est 0,02 si et seulement si 125717-Eqn178, qui équivaut à 125717-Eqn179, soit 125717-Eqn180.

Pour avoir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02, il aurait donc fallu interroger 10 000 foyers.

3. Utiliser un intervalle de confiance

D’après la question 1., à partir du sondage réalisé, on estime qu’entre 1,2 % et 5,2 % des foyers de la commune sont intéressés par l’achat d’un panier par mois.

Puisque la commune compte 15 000 foyers, cela correspond donc à un nombre de foyers compris entre 180 et 780 foyers ; à 20 € le panier, on peut estimer que la recette sera comprise entre 3 600 et 15 600 € par mois.

La condition pour démarrer l’entreprise étant de réaliser une recette minimale de 3 500 € par mois, le producteur peut donc envisager de se lancer.

PARTIE B

1. Déterminer un coût marginal

Le coût marginal pour six cents paniers vendus est 125717-Eqn181 (en centaines d’euros).

Or, on admet que pour tout 125717-Eqn182 appartenant à [0 ; 10], 125717-Eqn183, c’est-à-dire :

125717-Eqn184.

D’où 125717-Eqn185

Notez bien

Le coût marginal est le coût de la production d’une unité supplémentaire, ici d’une centaine de paniers supplémentaire.

On en déduit que le coût marginal pour 600 paniers vendus est 2 075 €.

2. Pour tout 125717-Eqn186 appartenant à [0 ; 10] :

125717-Eqn187

a) Déterminer un intervalle sur lequel une fonction est convexe

La fonction C est deux fois dérivable sur l’intervalle [0 ; 10]. Elle est convexe sur l’intervalle [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] si et seulement si, pour tout 125717-Eqn188 dans cet intervalle, 125717-Eqn189.

Or 125717-Eqn190 équivaut à 125717-Eqn191, c’est-à-dire à :

125717-Eqn192.

125717-Eqn193 car 125717-Eqn194 appartient à [0 ; 10], donc :

125717-Eqn195.

Le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe est donc l’intervalle :

125717-Eqn196

b) Interpréter concrètement l’abscisse d’un point d’une courbe

125717-Eqn197.

Si 125717-Eqn198, alors 125717-Eqn199 ;

si 125717-Eqn200, alors 125717-Eqn201.

La fonction 125717-Eqn202 est donc convexe sur 125717-Eqn203, concave sur 125717-Eqn204. Le point d’abscisse 7,5 est un point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction 125717-Eqn205.

Lorsque 125717-Eqn206 augmente de 0 à 7,5, le coût marginal augmente ; lorsque 125717-Eqn207 augmente de 7,5 à 10, le coût marginal diminue.

Le coût marginal est donc maximal pour 125717-Eqn208, c’est-à-dire pour 750 paniers vendus.

PARTIE C

1. Déterminer par lecture graphique une production permettant un bénéfice

Si on appelle 125717-Eqn209 le nombre de centaines de paniers produits et vendus, le producteur réalise un bénéfice si et seulement si sa recette est supérieure ou égale au coût de production, c’est-à-dire 125717-Eqn210. Cela équivaut à dire que le point de 125717-Eqn211 d’abscisse 125717-Eqn212 est au-dessus du point de 125717-Eqn213 de même abscisse.

Graphiquement, on observe que cela se produit pour 125717-Eqn214.

Le producteur réalise donc un bénéfice à partir de 70 paniers vendus, en arrondissant à la dizaine.

2. Déterminer un bénéfice par lecture graphique

Si le producteur produit et vend 500 paniers dans le mois, son bénéfice est, en centaines d’euros, 125717-Eqn215.

Par lecture graphique, 125717-Eqn216 (en effet, 125717-Eqn217 et125717-Eqn218

Donc, avec une production de 500 paniers dans le mois, le bénéfice du producteur est d’environ 3 900 € (à la centaine d’euros près).

3. Déterminer par lecture graphique si une valeur est atteinte

Le producteur réalise un bénéfice de 5 000 euros dans un mois pour 125717-Eqn219 centaines de paniers produits si et seulement 125717-Eqn220.

Graphiquement, cela équivaut à dire que la courbe 125717-Eqn221 est en-dessous du segment de droite représenté en bleu sur le graphique ci-dessous :

matT_1409_04_00C_07

Or on constate que la courbe 125717-Eqn222 est toujours nettement au-dessus de ce segment. Le producteur ne peut pas espérer réaliser un bénéfice de 5 000 € dans un mois. Graphiquement, le bénéfice maximal réalisable (correspondant à l’écart maximal entre les deux courbes 125717-Eqn223 et 125717-Eqn224) est d’environ 4 000 €.