Production de paniers de légumes, coût et bénéfice

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Antilles, Guyane

 

Antilles, Guyane • Septembre 2014

Exercice 3 • 6 points

Les trois parties sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Un producteur de légumes souhaite s’implanter dans une commune et livrer directement chez le consommateur des paniers de 5 kg de légumes variés labélisés « bio ».

PARTIE A

Avant de se lancer, le producteur fait réaliser un sondage auprès de 2 500 foyers de la commune ; 80 foyers se déclarent intéressés par l’achat d’un panier par mois.

1. Déterminer l’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de foyers de la commune susceptibles de passer commande d’un panier mensuel. (1 point)

2. Quelle aurait dû être la taille de l’échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude 0,02 ? (0,5 point)

3. La commune compte 15 000 foyers. La condition pour démarrer l’entreprise est de réaliser une recette minimale de 3 500 euros par mois.

Sachant que les paniers seront vendus 20 euros l’un, le producteur peut-il envisager de se lancer ? Justifier la réponse. (1 point)

PARTIE B

La production mensuelle de légumes permettra de livrer au maximum 1 000 paniers par mois.

Le coût total de production est modélisé par la fonction C définie sur l’intervalle [0 ; 10] par :

125717-Eqn39

Lorsque 125717-Eqn40 est exprimé en centaines de paniers, 125717-Eqn41 est égal au coût total exprimé en centaines d’euros.

On admet que, pour tout nombre 125717-Eqn42 de l’intervalle [0 ; 10], le coût marginal est donné par la fonction 125717-Eqn43, où 125717-Eqn44 est la fonction dérivée de C.

1. Calculer 125717-Eqn45, le coût marginal pour six cents paniers vendus. (1 point)

2. On note 125717-Eqn46 la fonction dérivée seconde de 125717-Eqn47 et on a :

125717-Eqn48

a) Déterminer le plus grand intervalle de la forme [0 ; a] inclus dans [0 ; 10] sur lequel la fonction C est convexe. (0,5 point)

b) Que peut-on dire du point d’abscisse 125717-Eqn49 de la courbe de la fonction 125717-Eqn50 ? Interpréter cette valeur de 125717-Eqn51 en termes de coût. (0,5 point)

PARTIE C

On admet que l’entreprise produit entre 0 et 1 000 paniers de légumes (par mois) et que tout ce qui est produit est vendu au prix de 20 euros le panier.

La recette mensuelle 125717-Eqn52, exprimée en centaines d’euros, ainsi que la fonction 125717-Eqn53 sont représentées par les courbes 125717-Eqn54 et 125717-Eqn55 sur le graphique donné en annexe.

Par lecture graphique, répondre aux questions qui suivent :

1. Indiquer le nombre minimal de paniers que le producteur doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice. Donner une valeur approchée à la dizaine. (0,5 point)

2. Indiquer le bénéfice réalisé par le producteur s’il produit et vend 500 paniers dans le mois. Donner une valeur approchée à la centaine d’euros. (0,5 point)

3. Le producteur peut-il espérer réaliser un bénéfice de 5 000 euros dans un mois ? Argumenter la réponse. (0,5 point)

Annexe

matT_1409_04_00C_04

Les clés du sujet

Durée conseillée : 55 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Dérivée • Convexité • Point d’inflexion

Les conseils du correcteur

Partie A

2. À partir d’un échantillon de taille 125717-Eqn85, on obtient un intervalle de confiance d’amplitude 125717-Eqn86.

3. Utilisez l’intervalle de confiance déterminé à la question 1.

Partie B

2. a) La fonction 125717-Eqn87 est convexe sur l’intervalle I si et seulement si 125717-Eqn88 est positive sur I, elle est concave sur l’intervalle I si et seulement si 125717-Eqn89 est négative sur I.

b) Utilisez le fait qu’en 125717-Eqn90, il y a un « changement de convexité » de la fonction 125717-Eqn91.