Production de papier recyclé

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de loi à densité
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Production de papier recyclé
 
 

Probabilités et statistiques • Notion de loi à densité

matT_1309_13_00C

ENS. SPÉCIFIQUE

30

CORRIGE

 

Polynésie française • Septembre 2013

Exercice 3 • 5 points

Une entreprise qui produit du papier recyclé, a été crée en l’année 2000 et le tableau ci-dessous donne l’évolution de sa production :

 

Année

2000

2002

2004

2006

2008

2010

2012

Rang de l’année

0

2

4

6

8

10

12

Production en tonnes

7 000

18 811

36 620

49 000

58 012

63 098

68 500

 

>1.a) Déterminer le pourcentage d’augmentation de la production entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme  %, où est un nombre entier. (0,5 point)

b) Déterminer un nombre réel positif qui est solution de l’équation :

. Interpréter ce nombre en termes de taux d’évolution de la production de cette entreprise entre les années 2000 et 2012. On donnera le résultat arrondi sous la forme  %, où est un nombre entier. (1 point)

>2. L’entreprise fait appel à un cabinet d’experts pour modéliser l’évolution de la production de l’entreprise afin de faire une projection jusqu’en 2020. Le cabinet d’experts propose la fonction définie sur l’intervalle [2 ; 20] par :

représente le rang de l’année et le nombre de tonnes produites.

a) On note la fonction dérivée de la fonction sur l’intervalle [2 ; 20]. Déterminer , puis les variations de la fonction sur [2 ; 20]. (1,25 point)

b) À l’aide de cette modélisation, l’entreprise peut-elle dépasser une production de 90000 tonnes de papier recyclé avant l’année 2020 ? Justifier. (0,75 point)

>3. Une commande de bobines de papier de 2,20 m de large et pesant chacune environ 500 kg est faite à cette entreprise. Le poids d’une bobine varie en fonction de nombreux facteurs.

Soit la variable aléatoire qui à toute bobine choisie au hasard dans cette commande associe son poids. On admet que suit une loi normale de paramètres et .

a) Toute bobine dont le poids est inférieur à 496 kg est refusée.

Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande soit refusée ? Donner une valeur arrondie du résultat à (0,75 point)

b) L’entreprise perd de l’argent pour toute bobine dont le poids est supérieur à 506 kg.

Quelle est la probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans cette commande fasse perdre de l’argent à l’entreprise ? Donner une valeur arrondie du résultat à (0,75 point)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Évolution en pourcentage • Fonction logarithme népérien • Variations d’une fonction • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

>1. a) Utilisez le coefficient multiplicateur.

>2. b) Utilisez les variations de étudiées à la question précédente.

>3. Utilisez les résultats concernant la loi normale.

a) La probabilité cherchée est .

b) Dans cette question, la probabilité cherchée est .

Corrigé

>1.a) Déterminer un pourcentage d’augmentation

 

Notez bien

9,79 est le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 879 %.

De l’année 2000 à l’année 2012, la production passe de 7 000 tonnes à 68 500 tonnes.

.

Donc, de 2000 à 2012, la production a augmenté d’environ 879 %.

b) Déterminer un pourcentage d’augmentation annuel moyen

 

Notez bien

1,21 est le coefficient multiplicateur correspondant à une augmentation de 21 %.

Soit x le pourcentage annuel d’évolution :

L’équation est successivement équivalente à :

(en arrondissant au centième).

Donc, en moyenne, de 2000 à 2012, la production de l’entreprise est multipliée chaque année par 1,21, c’est-à-dire qu’elle augmente de 21 %.

>2.a) Étudier les variations d’une fonction comportant un logarithme

Pour tout , donc :

Or et pour tout , donc .

La fonctionest strictement croissante sur l’intervalle [2 ; 20].

b) Déterminer et interpréter le maximum d’une fonction sur un intervalle

L’année 2020 correspond à et :

.

Donc avec la modélisation proposée, la production de l’entreprise n’atteindra pas 90 000 tonnes avant l’année 2020.

 

Attention

Puisque X suit une loi normale d’espérance 500, alors

>3.a) Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans la commande soit refusée est .

Or suit une loi normale d’espérance 500, donc :

D’après la calculatrice, (arrondi à ), d’où :

b) Évaluer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

La probabilité qu’une bobine choisie au hasard dans la commande fasse perdre de l’argent à l’entreprise est .

D’après la calculatrice, (arrondi à ), d’où :