On désigne par la fonction définie sur par :

&gt  1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

&gt  2. Démontrer que l&rsquo équation admet une solution unique α sur l&rsquo intervalle [0  6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)

&gt  3. On admet que la fonction F définie sur [0  6] par :

est une primitive de sur [0  6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-³ de (1 point)

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l&rsquo aide de la fonction définie dans la partie A pour compris entre 0 et 6.

représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

représente la production journalière de batteries en milliers.

&gt  1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. (0,75 point)

&gt  2. Déterminer une valeur arrondie à 10^{&ndash 3} de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. (0,75 point)

Il est prévu que l&rsquo autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l&rsquo autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type .

&gt  1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? (1 point)

&gt  2. La probabilité de pouvoir faire l&rsquo aller-retour jusqu&rsquo à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. (1 point)