Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

Production et autonomie de batteries

Analyse • Intégration

Corrigé

Ens. Spécifique

matT_1304_12_04C

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 4 • 6 points

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A

On désigne par la fonction définie sur par :

> 1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

> 2. Démontrer que l'équation admet une solution unique α sur l'intervalle [0 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)

> 3. On admet que la fonction F définie sur [0 6] par :

est une primitive de sur [0 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-³ de (1 point)

PARTIE B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction définie dans la partie A pour compris entre 0 et 6.

représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

représente la production journalière de batteries en milliers.

> 1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. (0,75 point)

> 2. Déterminer une valeur arrondie à 10^–3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. (0,75 point)

PARTIE C

Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d'espérance et d'écart-type .

> 1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? (1 point)

> 2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. (1 point)

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction exponentielle • Valeur moyenne d'une fonction • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

> 2. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

Partie B

> 1. Utilisez le résultat de la question 2. de la partie A.

> 2. Utilisez le résultat de la question 3. de la partie A.

Partie C

> 1. Déterminez une valeur approchée de où X est la variable aléatoire représentant l'autonomie de la batterie, exprimée en km.

> 2. Déterminez une valeur approchée de .

PARTIE A

> 1. Calculer la dérivée d'une fonction

Notez bien

On applique la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule de dérivation d'une fonction du type .

Pour tout réel appartenant à :

> 2. Montrer qu'une équation a une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution

On déduit de la question précédente que est strictement croissante sur .

et , donc .

étant continue et strictement croissante sur , d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une solution unique, notée α, dans l'intervalle [0 6].