Production et autonomie de batteries

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
Production et autonomie de batteries
 
 

Analyse • Intégration

Corrigé

19

Ens. Spécifique

matT_1304_12_04C

 

Pondichéry • Avril 2013

Exercice 4 • 6 points

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A

On désigne par la fonction définie sur par :

>1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

>2. Démontrer que l’équation admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)

>3. On admet que la fonction F définie sur [0 ; 6] par :

est une primitive de sur [0 ; 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-3 de (1 point)

PARTIE B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l’aide de la fonction définie dans la partie A pour compris entre 0 et 6.

représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

représente la production journalière de batteries en milliers.

>1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. (0,75 point)

>2. Déterminer une valeur arrondie à 10–3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. (0,75 point)

PARTIE C

Il est prévu que l’autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l’autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d’espérance et d’écart-type .

>1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? (1 point)

>2. La probabilité de pouvoir faire l’aller-retour jusqu’à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. (1 point)

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction exponentielle • Valeur moyenne d’une fonction • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

>2. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

Partie B

>1. Utilisez le résultat de la question 2. de la partie A.

>2. Utilisez le résultat de la question 3. de la partie A.

Partie C

>1. Déterminez une valeur approchée de X est la variable aléatoire représentant l’autonomie de la batterie, exprimée en km.

>2. Déterminez une valeur approchée de .

Corrigé

PARTIE A

>1. Calculer la dérivée d’une fonction

 

Notez bien

On applique la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule de dérivation d’une fonction du type .

Pour tout réel appartenant à  :

>2. Montrer qu’une équation a une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution

On déduit de la question précédente que est strictement croissante sur .

et , donc .

étant continue et strictement croissante sur , d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation admet une solution unique, notée α, dans l’intervalle [0 ; 6].

Avec la calculatrice :

et , donc .

et , donc .

et , donc :

.

1,67 est une valeur arrondie deαà 10–2près.

>3. Calculer une intégrale

PARTIE B

>1. Déterminer le moment où une production atteint un volume donné

On cherche tel que .

D’après la question 2. de la partie A, équivaut à .

Donc la production atteint 500 unités au bout de 1,67 mois environ, c’est-à-dire environ 50 jours.

>2. Déterminer la valeur moyenne d’une production

La valeur moyenne, en milliers de batteries, de la production sur les six premiers mois est :

.

D’après la partie A :

.

Donc la valeur moyenne de la production sur les six premiers mois est environ 670 batteries.

PARTIE C

 

Info

Pour les deux questions suivantes, on peut également utiliser la calculatrice.

Soit la variable aléatoire qui, à chaque batterie, associe son autonomie en kilomètres.

D’après l’énoncé, suit la loi normale de paramètres et .

>1. Calculer une probabilité associée à une loi normale

 

Notez bien

Les trois résultats suivants sont à connaître :

La probabilité de ne pas atteindre la ville située à 160 km est

.

D’après le cours :

.

Donc : .

Or, par symétrie, , donc :

>2. Déterminer si une probabilité associée à une loi normale est supérieure à une valeur donnée

Puisque le trajet aller-retour a une longueur totale de 320 km, la probabilité de pouvoir faire l’aller-retour sans recharge est

.

D’après le cours, , donc :

.

Or, par symétrie, , donc :

 

Notez bien

Puisque X suit une loi continue :

 ;

.

La probabilité de pouvoir faire l’aller-retour sans recharge de batteries est inférieure à 0,01.