Production et autonomie de batteries

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Pondichéry
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Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
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Production et autonomie de batteries
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Analyse &bull Intégration

Corrigé

19

Ens. Spécifique

matT_1304_12_04C

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Pondichéry &bull Avril 2013

Exercice 4 &bull 6 points

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

PARTIE A

On désigne par la fonction définie sur par :

&gt 1. Montrer que , où désigne la fonction dérivée de la fonction . (0,5 point)

&gt 2. Démontrer que l&rsquo équation admet une solution unique α sur l&rsquo intervalle [0  6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)

&gt 3. On admet que la fonction F définie sur [0  6] par :

est une primitive de sur [0  6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10-3 de (1 point)

PARTIE B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.

Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l&rsquo aide de la fonction définie dans la partie A pour compris entre 0 et 6.

représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.

représente la production journalière de batteries en milliers.

&gt 1. Exprimer en mois, puis en jours, le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités. (0,75 point)

&gt 2. Déterminer une valeur arrondie à 10&ndash 3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois. (0,75 point)

PARTIE C

Il est prévu que l&rsquo autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.

Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l&rsquo autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d&rsquo espérance et d&rsquo écart-type .

&gt 1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ? (1 point)

&gt 2. La probabilité de pouvoir faire l&rsquo aller-retour jusqu&rsquo à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse. (1 point)

Durée conseillée : 55 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée &bull Théorème des valeurs intermédiaires &bull Fonction exponentielle &bull Valeur moyenne d&rsquo une fonction &bull Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

&gt 2. Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires dans le cas d&rsquo une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.

Partie B

&gt 1. Utilisez le résultat de la question 2. de la partie A.

&gt 2. Utilisez le résultat de la question 3. de la partie A.

Partie C

&gt 1. Déterminez une valeur approchée de X est la variable aléatoire représentant l&rsquo autonomie de la batterie, exprimée en km.

&gt 2. Déterminez une valeur approchée de .