Analyse • Intégration
Corrigé
19
Ens. Spécifique
matT_1304_12_04C
Pondichéry • Avril 2013
Exercice 4 • 6 points
PARTIE A
On désigne par 
la fonction définie sur 
par :
, où 
désigne la fonction dérivée de la fonction 
. (0,5 point)
admet une solution unique α sur l’intervalle [0 ; 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)
est une primitive de 
sur [0 ; 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10
(1 point)
PARTIE B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l’aide de la fonction 
définie dans la partie 
compris entre 0 et 6.
représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
représente la production journalière de batteries en milliers.
PARTIE C
Il est prévu que l’autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l’autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d’espérance 
et d’écart-type 
.
Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction exponentielle • Valeur moyenne d’une fonction • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Partie C
où X est la variable aléatoire représentant l’autonomie de la batterie, exprimée en km.
.
PARTIE A
> 1. Calculer la dérivée d’une fonction
Notez bien
On applique la formule de dérivation du produit de deux fonctions et la formule de dérivation d’une fonction du type 
.
Pour tout réel 
appartenant à 
:
> 2. Montrer qu’une équation a une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution
On déduit de la question précédente que 
est strictement croissante sur 
.
et 
, donc 
.
étant continue et strictement croissante sur 
, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation 
admet une solution unique, notée α, dans l’intervalle [0 ; 6].
Avec la calculatrice :
et 
, donc 
.
et 
, donc 
.
et 
, donc :
.
> 3. Calculer une intégrale
PARTIE B
> 1. Déterminer le moment où une production atteint un volume donné
On cherche 
tel que 
.
D’après la question 
équivaut à 
.
> 2. Déterminer la valeur moyenne d’une production
La valeur moyenne, en milliers de batteries, de la production sur les six premiers mois est :
.
D’après la partie
.
PARTIE C
Info
Pour les deux questions suivantes, on peut également utiliser la calculatrice.
Soit 
la variable aléatoire qui, à chaque batterie, associe son autonomie en kilomètres.
D’après l’énoncé, 
suit la loi normale de paramètres 
et 
.
> 1. Calculer une probabilité associée à une loi normale
Notez bien
Les trois résultats suivants sont à connaître :
La probabilité de ne pas atteindre la ville située à 160 km est 
.
D’après le cours :
.
Donc : 
.
Or, par symétrie, 
, donc :
> 2. Déterminer si une probabilité associée à une loi normale est supérieure à une valeur donnée
Puisque le trajet aller-retour a une longueur totale de 320 km, la probabilité de pouvoir faire l’aller-retour sans recharge est 
.
D’après le cours, 
, donc :
.
Or, par symétrie, 
, donc :
Notez bien
Puisque X suit une loi continue :
;
.
La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.