Analyse • Intégration
Corrigé
19
Ens. Spécifique
matT_1304_12_04C
Pondichéry • Avril 2013
Exercice 4 • 6 points
PARTIE A
On désigne par la fonction définie sur
par :
, où
désigne la fonction dérivée de la fonction
. (0,5 point)
admet une solution unique α sur l'intervalle [0 6]. Déterminer une valeur arrondie de α à 0,01. (1 point)
est une primitive de sur [0 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10
(1 point)
PARTIE B
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction définie dans la partie
compris entre 0 et 6.
représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
représente la production journalière de batteries en milliers.
PARTIE C
Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries, suit une loi normale d'espérance et d'écart-type
.
Durée conseillée : 55 min.
Les thèmes en jeu
Dérivée • Théorème des valeurs intermédiaires • Fonction exponentielle • Valeur moyenne d'une fonction • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
Partie A
Partie B
Partie C
où X est la variable aléatoire représentant l'autonomie de la batterie, exprimée en km.
PARTIE A
> 1. Calculer la dérivée d'une fonction
> 2. Montrer qu'une équation a une solution unique et déterminer une valeur approchée de cette solution
On déduit de la question précédente que est strictement croissante sur
.
étant continue et strictement croissante sur
, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation
admet une solution unique, notée α, dans l'intervalle [0 6].
Avec la calculatrice :
> 3. Calculer une intégrale
PARTIE B
> 1. Déterminer le moment où une production atteint un volume donné
D'après la question équivaut à
.
> 2. Déterminer la valeur moyenne d'une production
La valeur moyenne, en milliers de batteries, de la production sur les six premiers mois est :
D'après la partie
PARTIE C
Info
Pour les deux questions suivantes, on peut également utiliser la calculatrice.
> 1. Calculer une probabilité associée à une loi normale
> 2. Déterminer si une probabilité associée à une loi normale est supérieure à une valeur donnée
Puisque le trajet aller-retour a une longueur totale de 320 km, la probabilité de pouvoir faire l'aller-retour sans recharge est
La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.