Produit de deux nombres impairs consécutifs

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la divisibilité et les nombres premiers
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : France métropolitaine


D’après France métropolitaine • Septembre 2014

Exercice 5 • 6 points

Léa pense qu’en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c’est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.

1. Étude d’un exemple

5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs.

a) Calculer 87326-Eqn5.

b) Léa a-t-elle raison pour cet exemple ?

2. Le tableau ci-dessous montre le travail qu’elle a réalisé dans une feuille de calcul.

A

B

C

D

E

1

Nombre impair

Nombre impair suivant

Produit de ces nombres impairs consécutifs

Résultat obtenu

2

x

2x + 1

2x + 3

(2x +1)(2x + 3)

(2x + 1)(2x + 3) + 1

3

0

1

3

3

4

4

1

3

5

15

16

5

2

5

7

35

36

6

3

7

9

63

64

7

4

9

11

99

100

8

5

11

13

143

144

9

6

13

15

195

196

10

7

15

17

255

256

11

8

17

19

323

324

12

9

19

21

399

400

a) D’après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme ­premier nombre impair 17 ?

b) Montrer que cet entier est un multiple de 4.

c) Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu être saisies dans la cellule D3. Lesquelles ? Aucune justification n’est attendue.

Formule 1 : 87326-Eqn6

Formule 2 : 87326-Eqn7

Formule 3 : 87326-Eqn8

Formule 4 : 87326-Eqn9

3. Étude algébrique

a) Développer et réduire l’expression (2x + 1)(2x + 3) + 1.

b) Montrer que Léa avait raison : le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.

Les clés du sujet

Points du programme

Opérations prioritaires • Tableur • Multiples d’un nombre • Distributivité double.

Nos coups de pouce

1. a) Utiliser les règles de priorité.

2. b) Un entier 257585-Eqn9 est un multiple de 4 s’il existe un entier 257585-Eqn10 tel que257585-Eqn11.

3. a) Utiliser la propriété de double distributivité.

b) Mettre 4 en facteur dans le résultat trouvé à la fin de la question précédente.

Corrigé

Corrigé

1. a) En respectant la priorité de la multiplication sur l’addition, nous obtenons 257585-Eqn70.

b) Nous remarquons que le nombre trouvé 36 est bien un multiple de 4, car 257585-Eqn71.

Pour cet exemple, Léa a raison.

2. a) Si l’on prend 17 comme premier nombre impair, le nombre impair qui suit 17 est 19. On obtient finalement le nombre 257585-Eqn72.

Le tableau indique ce résultat en cellule E11.

b) Nous savons que 257585-Eqn73. Le nombre 324 est donc un multiple de 4.

c) On peut saisir les formules 1 et 3 dans la cellule D3.

3. a) Notons 257585-Eqn74.

257585-Eqn75 ou encore 257585-Eqn76.

b) Le nombre 257585-Eqn77 est pair et les nombres 257585-Eqn78 et 257585-Eqn79 sont impairs consécutifs.

Léa pense que 257585-Eqn80 est un multiple de 4.

Nous savons que 257585-Eqn81.

Donc 257585-Eqn82 est un multiple de 4.

Léa avait donc raison.