Utiliser la divisibilité et les nombres premiers
mat3_1409_07_01C
Maths
9
CORRIGE
D'après France métropolitaine • Septembre 2014
Exercice 5 • 6 points
Léa pense qu'en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c'est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
▶ 1. Étude d'un exemple
5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs.
a) Calculer 
.
b) Léa a-t-elle raison pour cet exemple ?
▶ 2. Le tableau ci-dessous montre le travail qu'elle a réalisé dans une feuille de calcul.
| A | B | C | D | E | |
| 1 | Nombre impair | Nombre impair suivant | Produit de ces nombres impairs consécutifs | Résultat obtenu | |
| 2 | x | 2x + 1 | 2x + 3 | (2x +1)(2x + 3) | (2x + 1)(2x + 3) + 1 |
| 3 | 0 | 1 | 3 | 3 | 4 |
| 4 | 1 | 3 | 5 | 15 | 16 |
| 5 | 2 | 5 | 7 | 35 | 36 |
| 6 | 3 | 7 | 9 | 63 | 64 |
| 7 | 4 | 9 | 11 | 99 | 100 |
| 8 | 5 | 11 | 13 | 143 | 144 |
| 9 | 6 | 13 | 15 | 195 | 196 |
| 10 | 7 | 15 | 17 | 255 | 256 |
| 11 | 8 | 17 | 19 | 323 | 324 |
| 12 | 9 | 19 | 21 | 399 | 400 |
a) D'après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme premier nombre impair 17 ?
b) Montrer que cet entier est un multiple de 4.
c) Parmi les quatre formules de calcul tableur suivantes, deux formules ont pu être saisies dans la cellule D3. Lesquelles ? Aucune justification n'est attendue.
Formule 1 : 
Formule 2 : 
Formule 3 : 
Formule 4 : 
▶ 3. Étude algébrique
a) Développer et réduire l'expression (2x + 1)(2x + 3) + 1.
b) Montrer que Léa avait raison : le résultat obtenu est toujours un multiple de 4.
Les clés du sujet
Points du programme
Opérations prioritaires • Tableur • Multiples d'un nombre • Distributivité double.
Nos coups de pouce
▶ 1. a) Utiliser les règles de priorité.
▶ 2. b) Un entier 
est un multiple de 4 s'il existe un entier 
tel que
.
▶ 3. a) Utiliser la propriété de double distributivité.
b) Mettre 4 en facteur dans le résultat trouvé à la fin de la question précédente.
Corrigé
▶ 1. a) En respectant la priorité de la multiplication sur l'addition, nous obtenons 
.
b) Nous remarquons que le nombre trouvé 36 est bien un multiple de 4, car 
.
Pour cet exemple, Léa a raison.
▶ 2. a) Si l'on prend 17 comme premier nombre impair, le nombre impair qui suit 17 est 19. On obtient finalement le nombre 
.
Le tableau indique ce résultat en cellule E11.
b) Nous savons que 
. Le nombre 324 est donc un multiple de 4.
c) On peut saisir les formules 1 et 3 dans la cellule D3.
▶ 3. a) Notons 
.
ou encore 
.
b) Le nombre 
est pair et les nombres 
et 
sont impairs consécutifs.
Léa pense que 
est un multiple de 4.
Nous savons que 
.
Donc 
est un multiple de 4.
Léa avait donc raison.