Géométrie
Utiliser la géométrie plane pour démontrer
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mat3_1706_02_02C
Amérique du Nord • Juin 2017
Exercice 2 • 9,5 points
Programme de construction géométrique
Avec un logiciel de géométrie, on exécute le programme ci-dessous.
Programme de construction :
construire un carré ABCD ;
tracer le cercle de centre A et de rayon [AC] ;
placer le point E à l'intersection du cercle et de la demi-droite [AB) ;
construire un carré DEFG.
▶ 1. Sur la copie, réaliser la construction avec AB = 3 cm.
▶ 2. Dans cette question, AB = 10 cm.
a) Montrer que cm.
b) Expliquer pourquoi cm.
c) Montrer que l'aire du carré DEFG est le triple de l'aire du carré ABCD.
▶ 3. On admet pour cette question que pour n'importe quelle longueur du côté [AB], l'aire du carré DEFG est toujours le triple de l'aire du carré ABCD.
En exécutant ce programme de construction, on souhaite obtenir un carré DEFG ayant une aire de 48 cm2.
Quelle longueur AB faut-il choisir au départ ?
Les clés du sujet
Points du programme
Théorème de Pythagore • Aire d'un carré.
Nos coups de pouce
▶ 1. Utilise un compas et une règle graduée.
▶ 2. a et c) Applique le théorème de Pythagore.
Corrigé
▶ 1. Voir figure ci-dessous.
Échelle .
▶ 2. a) Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en B. Nous obtenons soit . En effet AB = BC =10 cm puisque ABCD est un carré dont le côté mesure 10 cm.
Nous avons cm.
b) [AE] et [AC] sont deux rayons d'un même cercle. Ils ont donc même mesure et cm.
c) Notons 1 et 2 les aires respectives des carrés DEFG et ABCD.
Rappel
Aire du carré = côté × côté = (côté)2.
Nous avons 1 = DE2. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ADE rectangle en A. Nous obtenons soit . Donc 1 = 300 cm2.
Nous avons aussi 2 = AB2 = 102 = 100 soit 2 = 100 cm2.
Conclusion : 1 = 3 × 2 et l'aire du carré DEFG est le triple de l'aire du carré ABCD.
▶ 3. Nous voulons avoir 1 = 48 cm2. Alors cm2 et .
Conclusion : AB = 4 cm. C'est la valeur qu'il faut choisir au départ.