Programme de construction géométrique

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Représenter l'espace
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Amérique du Nord

Amérique du Nord • Juin 2017

Exercice 2 • 9,5 points

Programme de construction géométrique

Avec un logiciel de géométrie, on exécute le programme ci-dessous.

mat3_1706_02_02C_01

Programme de construction :

construire un carré ABCD ;

tracer le cercle de centre A et de rayon [AC] ;

placer le point E à l’intersection du cercle et de la demi-droite [AB) ;

construire un carré DEFG.

1. Sur la copie, réaliser la construction avec AB = 3 cm.

2. Dans cette question, AB = 10 cm.

a) Montrer que AC=200 cm.

b) Expliquer pourquoi AE=200 cm.

c) Montrer que l’aire du carré DEFG est le triple de l’aire du carré ABCD.

3. On admet pour cette question que pour n’importe quelle longueur du côté [AB], l’aire du carré DEFG est toujours le triple de l’aire du carré ABCD.

En exécutant ce programme de construction, on souhaite obtenir un carré DEFG ayant une aire de 48 cm2.

Quelle longueur AB faut-il choisir au départ ?

Les clés du sujet

Points du programme

Théorème de Pythagore • Aire d’un carré.

Nos coups de pouce

1. Utilise un compas et une règle graduée.

2. a et c) Applique le théorème de Pythagore.

Corrigé

Corrigé

1. Voir figure ci-dessous.

mat3_1706_02_02C_02

Échelle 13.

2. a) Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en B. Nous obtenons AC2=AB2+BC2 soit AC2=102+102=200. En effet AB = BC =10 cm puisque ABCD est un carré dont le côté mesure 10 cm.

Nous avons AC=200 cm.

b) [AE] et [AC] sont deux rayons d’un même cercle. Ils ont donc même mesure et AE=200 cm.

c) Notons A1 et A2 les aires respectives des carrés DEFG et ABCD.

Rappel

Aire du carré = côté × côté = (côté)2.

Nous avons A1 =  DE2. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle ADE rectangle en A. Nous obtenons DE2=AD2+AE2 soit DE2=100+200=300. Donc A1 = 300 cm2.

Nous avons aussi A2 = AB2 = 102 = 100 soit A2 = 100 cm2.

Conclusion : A1 = 3 × A2 et l’aire du carré DEFG est le triple de l’aire du carré ABCD.

3. Nous voulons avoir A1 = 48 cm2. Alors A2=13×A1=16 cm2 et AB=16.

Conclusion : AB = 4 cm. C’est la valeur qu’il faut choisir au départ.