Utiliser le calcul littéral
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mat3_2306_07_04C
exercice 5
Voici deux programmes de calcul.
Programme A Choisir un nombre. Multiplier ce nombre par −2. Ajouter 5 à ce résultat. | Programme B Choisir un nombre. Soustraire 5 à ce nombre. Multiplier le résultat par 3. Ajouter 11 au résultat. |
▶ 1. a) Montrer que, si on choisit −3 comme nombre de départ, le résultat obtenu avec le programme A est 11.
b) Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5,5 comme nombre de départ ?
▶ 2. En désignant par x le nombre de départ, on obtient −2x + 5 comme résultat avec le programme A.
Montrer, qu’avec le même nombre de départ, le résultat du programme B est égal à 3x − 4.
▶ 3. a) On a représenté ci-dessous les fonctions f et g définies par f(x) = −2x + 5 et g(x) = 3x − 4.
Associer, en justifiant, chaque droite à la fonction qui lui correspond.
▶ 4. Déterminer par le calcul le nombre de départ pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat.
Les clés du sujet
L’intérêt du sujet
Ces deux programmes de calcul portent sur la majorité des connaissances acquises sur le calcul littéral (valeur d’une expression littérale, résolution d’équation, fonction…). Excellent pour réviser !
Nos coups de pouce, question par question
▶ 1. a) Appliquer un programme de calcul à un nombre donné | N’hésite pas à réécrire sur ta copie le programme A puis, en face de chaque phrase, indique le calcul et le nombre obtenu. |
▶ 2. Donner l’expression générale d’un programme de calcul | Utilise la même méthode que dans la question 1., mais remplace le nombre de départ par la lettre x. Pense aussi à développer et simplifier les expressions obtenues à chaque ligne dès que possible. |
▶ 3. a) Déterminer la représentation graphique d’une fonction affine | Pour associer chaque fonction à sa représentation graphique, détermine l’ordonnée à l’origine d’une des deux fonctions à partir de son expression algébrique. Puis compare-la à l’ordonnée à l’origine de chaque droite. |
b) Lire graphiquement les coordonnées d’un point | Rappelle-toi que si la droite est la représentation graphique de la fonction affine f, alors tous les points de ont des coordonnées de la forme . |
▶ 4. Résoudre une équation du premier degré à une inconnue | Appelle x le nombre recherché, et rappelle-toi que si les programmes A et B donnent le même résultat avec ce nombre, cela signifie que les deux expressions littérales sont égales. |
▶ 1. a) Si on choisit –3 au départ, le résultat obtenu est bien 11.
Programme A | |
Choisir un nombre. | -3 |
Multiplier ce nombre par –2. | |
Ajouter 5 au résultat. | 6 + 5 = 11 |
b) Si on choisit 5,5 comme nombre de départ, le résultat du programme B est 12,5.
Programme B | |
Choisir un nombre. | 5,5 |
Soustraire 5 à ce nombre. | 5,5 - 5 = 0,5 |
Multiplier le résultat par 3. | 0,5 × 3 = 1,5 |
Ajouter 11 au résultat. | 1,5 + 11 = 12,5 |
▶ 2. Appliquons le programme B au nombre de départ x et développons et/ou simplifions dès que possible les expressions littérales obtenues :
Programme B | |
Choisir un nombre. | x |
Soustraire 5 à ce nombre. | x - 5 |
Multiplier le résultat par 3. | |
Ajouter 11 au résultat. |
|
Si on choisit x comme nombre de départ, on obtient bien avec le programme B.
▶ 3. a) On peut étudier une des deux fonctions, par exemple la fonction f.
D’après l’énoncé, . La fonction f est donc une fonction affine de coefficient directeur –2 et dont l’ordonnée à l’origine vaut +5.
Comme l’ordonnée à l’origine est la valeur de l’ordonnée du point d’intersection entre la représentation graphique de la fonction affine et l’axe des ordonnées, on en déduit graphiquement que D2 est la représentation graphique de la fonction f, et donc que D1 est la représentation graphique de la fonction g.
remarque
On peut aussi remplir un tableau de valeurs pour la fonction f par exemple (les valeurs choisies pour x sont arbitraires).
x | 1 | 3 |
On obtient deux points de coordonnées (1 ; 3) et (3 ; –1). Il n’y a plus qu’à repérer sur quelle droite sont situés ces deux points pour répondre à la question.
b) Le nombre dont l’image est la même par la fonction f et la fonction g (c’est-à-dire lorsque ) est l’abscisse du point d’intersection des droites 1 et 2.
Graphiquement, on trouve environ 1,8.
▶ 4. Pour calculer la valeur du nombre de départ (que nous noterons x) pour lequel les programmes A et B donnent le même résultat, il faut résoudre l’équation .
- 2x + 5 = 3x - 4
- 5x + 5 = - 4
- 5x = - 9
Si le nombre de départ vaut 1,8, alors les programmes A et B donnent le même résultat.