▶ 1. a) Déterminer un vecteur directeur d’une droite

D’après la représentation paramétrique donnée, le vecteur $\boxed{\overrightarrow{u}(\text{2 };-\text{1 };2)}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.

b) Montrer qu’un point appartient à une droite

Le point B appartient à la droite $\mathcal{D}$ si et seulement s’il existe un réel t tel que : $\left\{\begin{array}{l}1+2t=-1\\ 2-t=3\\ 2+2t=0\end{array}\right.$. Les trois équations ont la même solution t = - 1, donc le point B appartient à la droite $\mathcal{D}$.

c) Calculer le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

Avec $\overrightarrow{\text{AB}}(\text{0 };\text{ 2 };-3)$, on a $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{u}=-2-6$, soit $\boxed{\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{u}=-8}$.

▶ 2. a) Déterminer une équation cartésienne d’un plan

Le vecteur $\overrightarrow{u}(\text{2};-\text{1};2)$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$, qui est orthogonale au plan $\mathcal{P}$, donc $\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$.

Donc $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne 2x - y + 2z + d = 0.

Le plan $\mathcal{P}$ passe par le point A, donc les coordonnées de A vérifient cette équation : $2\times (-1)-1+2\times 3+d=0$, soit d = - 3.

$\mathcal{P}$ a donc pour équation cartésienne $\boxed{2x-y+2z-3=0}$.

b) Vérifier les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite

Notons K le point de coordonnées $\left(\frac{7}{9} ; \frac{19}{9} ; \frac{16}{9}\right)$ et montrons que ce point appartient à la fois à la droite $\mathcal{D}$ et au plan $\mathcal{P}$, c’est-à-dire que K = H.

Pour montrer que K appartient à la droite $\mathcal{D}$, on résout le système :

$\left\{\begin{array}{l}1+2t=\frac{7}{9}\\ 2-t=\frac{19}{9}\\ 2+2t=\frac{16}{9}\end{array}\right.$

Les trois équations ont la même solution $t=-\frac{1}{9}$, donc K ∈ $\mathcal{D}$.

D’autre part, $2\times \frac{7}{9}-\frac{19}{9}+2\times \frac{16}{9}-3=0$, donc les coordonnés de K vérifient l’équation cartésienne de $\mathcal{P}$ obtenue à la question précédente. Donc K ∈ $\mathcal{P}$.

On en déduit que le point d’intersection de $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ est $\text{H}\left(\frac{7}{9} ; \frac{19}{9} ; \frac{16}{9}\right)$.

c) Calculer la distance de deux points de l’espace

$\text{AH}=\sqrt[]{{\left(\frac{7}{9}+1\right)}^2+{\left(\frac{19}{9}-1\right)}^2+{\left(\frac{16}{9}-3\right)}^2}$

$\text{AH}=\frac{\sqrt[]{256+100+121}}{9}=\frac{\sqrt[]{477}}{9}$

$\boxed{\text{AH}=\frac{\sqrt[]{53}}{3}}$ .

▶ 3. a) Justifier une relation entre deux vecteurs de l’espace

H et B sont deux points de $\mathcal{D}$, $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$, donc $\overrightarrow{\text{HB}}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires et il existe un nombre réel k tel que $\overrightarrow{\text{HB}}=k\overrightarrow{u}$.

b) Déterminer l’expression d’un coefficient

D’après la relation de Chasles, $\overrightarrow{\text{AB}}=\overrightarrow{\text{AH}}+\overrightarrow{\text{HB}}$. Donc :

$\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{u}=(\overrightarrow{\text{AH}}+\overrightarrow{\text{HB}})\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{AH}}\cdot \overrightarrow{u}+\overrightarrow{\text{HB}}\cdot \overrightarrow{u}$.

Or $\overrightarrow{\text{AH}}\cdot \overrightarrow{u}=0$ car A et H sont deux points du plan $\mathcal{P}$ et $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur d’une droite orthogonale à $\mathcal{P}$.

Donc $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{\text{HB}}\cdot \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}=k{‖\overrightarrow{u}‖}^2$. D’où $\boxed{k=\frac{\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{u}}{{‖\overrightarrow{u}‖}^2}}$.

c) Calculer un coefficient

On sait, d’après la question 1. c), que $\overrightarrow{\text{AB}}\cdot \overrightarrow{u}=-8$.

${‖\overrightarrow{u}‖}^2=4+1+4=9$. Donc $\boxed{k=-\frac{8}{9}}$.

On en déduit que $\overrightarrow{\text{HB}}= -\frac{8}{9}\overrightarrow{u}$,

donc $\overrightarrow{\text{HB}}$ a pour coordonnées $\left(-\frac{16}{9} ; \frac{8}{9} ; -\frac{16}{9}\right)$.

Si on note (x_H ; y_H ; z_H) les coordonnées de H, on a donc :

$\left\{\begin{array}{l}-1-x_{\text{H}}=-\frac{16}{9}\\ 3-y_{\text{H}}=\frac{8}{9}\\ -z_{\text{H}}=-\frac{16}{9}\end{array}\right.$, d’où $\left\{\begin{array}{l}{x}_{\text{H}}=\frac{7}{9}\\ y_{\text{H}}=\frac{19}{9}\\ z_{\text{H}}=\frac{16}{9}\end{array}\right.$.

On retrouve les coordonnées de H obtenues précédemment.

▶ 4. Calculer l’aire d’un triangle

Soit 𝒱 le volume du tétraèdre ABCH et $\mathcal{A}$ l’aire du triangle ACH.

[HB] est la hauteur du tétraèdre ABCH relative à la base ACH, donc :

$\mathcal{V}=\frac{1}{3}\times \mathcal{A}\times \text{HB}$.

Donc $\mathcal{A}=\frac{3\mathcal{V}}{\text{HB}}=\frac{8}{3\text{HB}}$ car $\mathcal{V}=\frac{8}{9}$.

Or $\text{HB}=‖\overrightarrow{\text{HB}}‖=\frac{\sqrt[]{256+64+256}}{9}=\frac{\sqrt[]{576}}{9}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}$. Donc $\mathcal{A}$ = 1.

L’aire du triangle ACH est égale à 1.