Géométrie dans l’espace
Ens. spécifique
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matT_1705_09_02C
Liban • Juin 2017
Exercice 1 • 6 points • ⏱ 1 h 10
Promenade sur la diagonale d’un cube
Les thèmes clés
Géométrie dans l’espace • Compléments sur les fonctions
On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous.
Les arêtes sont de longueur 1.
L’espace est rapporté au repère orthonormé
partie a
▶ 1. Montrer que le vecteur est normal est normal au plan (EBG).
▶ 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).
▶ 3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).
On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées .
partie b
À tout réel x de l’intervalle [0 1], on associe le point M du segment [DF] tel que . On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ en radians de l’angle lorsque le point M parcourt le segment [DF]. On a 0 ≤ θ ≤ π.
▶ 1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?
▶ 2. a) Justifier que les coordonnées du point M sont (x x x).
b) Montrer que . On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs et .
▶ 3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction .
Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :
a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?
b) l’angle θ est-il maximal ?
Les clés du sujet
Partie A
▶ 3. Déterminez une représentation paramétrique de la droite (DF). Résolvez ensuite un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point I.
Partie B
▶ 1. Étudiez successivement la nature des triangles EDB et EFB.
▶ 2. b) Calculez successivement et les distances ME et MB.
▶ 3. b) Justifiez que l’angle θ est maximal si et seulement si cos(θ) est minimal. Concluez.