On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé $(\text{D};\overrightarrow{\text{DA}},\overrightarrow{\text{DC}},\overrightarrow{\text{DH}})$

partie a

▶ 1. Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{DF}}$ est normal est normal au plan (EBG).

▶ 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).

▶ 3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées $\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

partie b

À tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on associe le point M du segment [DF] tel que $\overrightarrow{\text{DM}}=x\overrightarrow{\text{DF}}$. On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ en radians de l’angle $\widehat{\text{EMB}}$ lorsque le point M parcourt le segment [DF]. On a 0 ≤ θ ≤ π.

▶ 1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?

▶ 2. a) Justifier que les coordonnées du point M sont (x ; x ; x).

b) Montrer que $\text{cos}(\theta )=\frac{3x^2–4x+1}{3x^2–4x+2}$. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{\text{ME}}$ et $\overrightarrow{\text{MB}}$.

▶ 3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f:x\to \frac{3x^2–4x+1}{3x^2–4x+2}$.

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :

a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?

b) l’angle θ est-il maximal ?