Promenade sur la diagonale d'un cube

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : Moyen-Orient


Liban • Juin 2017

Exercice 1 • 6 points • 1 h 10

Promenade sur la diagonale d’un cube

Les thèmes clés

Géométrie dans l’espace • Compléments sur les fonctions

 

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1.

L’espace est rapporté au repère orthonormé (D;DA,DC,DH)

matT_1706_09_01C_01

partie a

 1. Montrer que le vecteur DF est normal est normal au plan (EBG).

 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).

 3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées (13;13;13).

partie b

À tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on associe le point M du segment [DF] tel que DM=x DF. On s’intéresse à l’évolution de la mesure θ en radians de l’angle EMB^ lorsque le point M parcourt le segment [DF]. On a 0  θ  π.

 1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?

 2. a) Justifier que les coordonnées du point M sont (; ; x).

b) Montrer que cos(θ)=3x24x+13x24x+2. On pourra pour cela s’intéresser au produit scalaire des vecteurs ME et MB.

 3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f:x3x24x+13x24x+2.

matT_1706_09_01C_tab1

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :

a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?

b) l’angle θ est-il maximal ?

Les clés du sujet

Partie A

3. Déterminez une représentation paramétrique de la droite (DF). Résolvez ensuite un système d’équations pour déterminer les coordonnées du point I.

Partie B

1. Étudiez successivement la nature des triangles EDB et EFB.

2. b) Calculez successivement MEMB et les distances ME et MB.

3. b) Justifiez que l’angle θ est maximal si et seulement si cos(θ) est minimal. Concluez.