Annale corrigée Exercice Ancien programme

Promenade sur la diagonale d'un cube

Liban • Juin 2017

Exercice 1 • 6 points • 1 h 10

Promenade sur la diagonale d'un cube

Les thèmes clés

Géométrie dans l'espace • Compléments sur les fonctions

 

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1.

L'espace est rapporté au repère orthonormé (DDA,DC,DH)

matT_1706_09_01C_01

partie a

 1. Montrer que le vecteur DF est normal est normal au plan (EBG).

 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).

 3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées (131313).

partie b

À tout réel x de l'intervalle [0  1], on associe le point M du segment [DF] tel que DM=x DF. On s'intéresse à l'évolution de la mesure θ en radians de l'angle EMB^ lorsque le point M parcourt le segment [DF]. On a 0  θ  π.

 1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?

 2. a) Justifier que les coordonnées du point M sont ( x).

b) Montrer que cos(θ)=3x24x+13x24x+2. On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des vecteurs ME et MB.

 3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction f:x3x24x+13x24x+2.

matT_1706_09_01C_tab1

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :

a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?

b) l'angle θ est-il maximal ?

Les clés du sujet

Partie A

3. Déterminez une représentation paramétrique de la droite (DF). Résolvez ensuite un système d'équations pour déterminer les coordonnées du point I.

Partie B

1. Étudiez successivement la nature des triangles EDB et EFB.

2. b) Calculez successivement MEMB et les distances ME et MB.

3. b) Justifiez que l'angle θ est maximal si et seulement si cos(θ) est minimal. Concluez.

Corrigé

Partie A

1. Montrer qu'un vecteur est normal à un plan  E31c • E32a • E33a 

D'après la figure et le repère fournis, on a les coordonnées des points suivants :

D(0   0   0), E(1   0   1), F(1   1   1), B(1   1   0), G(0   1   1).

On a ensuite :

EB|xBxE=11=0yByE=10=1zBzE=01=1EG|xGxE=01=1yGyE=10=1zGzE=11=0 et DF|xFxD=10=1yFyD=10=1zFzD=10=1

Les coordonnées des vecteurs EB et EG n'étant pas proportionnelles, les vecteurs EB et EG ne sont pas colinéaires.

De plus, on a :

DFEB=1×+1×1+1×(1)=0 donc DF est orthogonal à EB 

DFEG=1×(1)+ 1×1+1×0=0 donc DF est orthogonal à EG.

Le vecteur DF est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EBG) donc le vecteur DF est normal au plan (EBG).

2. Déterminer une équation cartésienne d'un plan  E33c 

Le vecteur DF de coordonnées (1   1   1) est normal au plan (EBG), une équation cartésienne de ce plan est donc : 1x + 1y + 1z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Or, le point E(1   0   1) appartient au plan (EBG) donc :

xE + yE + zE + d = 0 1 + 0 + 1 + d = 0 d = - 2.

Une équation cartésienne du plan (EBG) est donc x+y+z2=0.

3. Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection  E30 • E33c 

Le vecteur DF(111) est un vecteur directeur de la droite (DF). Une représentation paramétrique de la droite (DF) est alors donnée par :

{x=xD+xDF×ty=yD+yDF×tz=zD+zDF×t,t ce qui nous donne {x=0+1×t=ty=0+1×t=tz=0+1×t=t,t.

I(xyz)(DF)(EBG){x=ty=tz=tx+y+z2=0{x=ty=tz=tt+t+t2=0x=y=z=t=23

Le point I a donc pour coordonnées (232323).

Partie B

1. Déterminer une mesure pour un angle sous contrainte

Si le point M est confondu avec le point D, alors EMB^=EDB^. Les côtés du triangle EDB ont tous la même mesure puisqu'ils correspondent tous à une diagonale d'une face du cube. Le triangle EDB est donc équilatéral : θ=EMB^=EDB^=60°=π3rad.

Si le point M est confondu avec le point F, alors EMB^=EFB^. Or le triangle EFB est rectangle en F puisque, dans le carré EFBA, on a EFB^=90°. Par conséquent, θ=EMB^=EFB^=90°=π2rad.

2. a) Déterminer les coordonnées d'un point  E27 

DM=xDF{xMxD=x×xDFyMyD=x×yDFzMzD=x×zDF{xM0=x×1yM0=x×1zM0=x×1{xM=xyM=xzM=x

Le point M a donc pour coordonnées (xxx).

b) Déterminer le cosinus d'un angle à l'aide d'un produit scalaire  E31a • E31c 

Puisque E [DF] et B [DF], on a ME0  et MB0. Le produit scalaire MEMB est donc bien défini et donné par : MEMB=ME×MB×cos(ME,MB)=ME×MB×cos(θ).

On a :

ME|xExM=1xyEyM=0x=xzEzM=1x et MB|xBxM=1xyByM=1xzBzM=0x=x

à noter

Pour tous réels a et b, (ab)2=a22ab+b2.

MEMB=xME×xMB+yME×yMB+zME×zMB=(1x)2+(x)×(1x)+(1x)×(x)=12x+x2x+x2x+x2=3x24x+1.

ME=ME=xME2+yME2+zME2=(1x)2+(x)2+(1x)2=12x+x2+x2+12x+x2=3x24x+2.

De même, MB=MB=3x24x+2.

Par conséquent, puisque MB = ME ≠ 0, on a :

cos(θ)=MEMBME×MB=MEMBME2=3x24x+13x24x+2.

3. a) Déterminer la position d'un point pour qu'un triangle soit rectangle  E19d 

Le triangle MEB est rectangle en M si et seulement si θ=EMB^=π2rad. Or, comme 0  θ  π, c'est équivalent à cos(θ= 0, soit f(x= 0.

f(x)=0x=13oux=1M=JouM=F

Le triangle MEB est rectangle en M si et seulement si M est en J ou M est en F sur le segment [DF].

b) Déterminer la position d'un point pour qu'un angle soit maximal  E19d 

D'après le tableau de variations, si x [0  1], alors f(x)=cos(θ)[1212].

Or cos(θ)[1212]0θππ3θ2π3. La fonction cosinus étant strictement décroissante sur [0  π], l'angle θ est maximal, égal à 2π3, si et seulement si cos(θ) est minimal, égal à 12. Il en découle, d'après le tableau de variations, que l'angle θ est maximal si et seulement si x=23.

En conclusion, d'après la question 3. de la partie A et la question 2. a) de la partie B, l'angle θ est maximal si et seulement si M est en I sur le segment [DF].

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