Géométrie dans l'espace

Ens. spécifique

matT_1705_09_02C

Liban • Juin 2017

Exercice 1 • 6 points • ⏱ 1 h 10

Promenade sur la diagonale d'un cube

Les thèmes clés

Géométrie dans l'espace • Compléments sur les fonctions

On considère un cube ABCDEFGH dont la représentation en perspective cavalière est donnée ci-dessous.

Les arêtes sont de longueur 1.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $(D \vec{DA}, \vec{DC}, \vec{DH})$

matT_1706_09_01C_01

partie a

▶ 1. Montrer que le vecteur $\vec{DF}$ est normal est normal au plan (EBG).

▶ 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG).

▶ 3. En déduire les coordonnées du point I intersection de la droite (DF) et du plan (EBG).

On démontrerait de la même manière que le point J intersection de la droite (DF) et du plan (AHC) a pour coordonnées $(\frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3})$ .

partie b

À tout réel x de l'intervalle [0 1], on associe le point M du segment [DF] tel que $\vec{DM} = x \vec{DF}$ . On s'intéresse à l'évolution de la mesure θ en radians de l'angle $\hat{EMB}$ lorsque le point M parcourt le segment [DF]. On a 0 ≤ θ ≤ π.

▶ 1. Que vaut θ si le point M est confondu avec le point D ? avec le point F ?

▶ 2. a) Justifier que les coordonnées du point M sont (x x x).

b) Montrer que $cos (θ) = \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x^{2} - 4 x + 2}$ . On pourra pour cela s'intéresser au produit scalaire des vecteurs $\vec{ME}$ et $\vec{MB}$ .

▶ 3. On a construit ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f : x \to \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x^{2} - 4 x + 2}$ .

matT_1706_09_01C_tab1

Pour quelles positions du point M sur le segment [DF] :

a) le triangle MEB est-il rectangle en M ?

b) l'angle θ est-il maximal ?

Les clés du sujet

Partie A

▶ 3. Déterminez une représentation paramétrique de la droite (DF). Résolvez ensuite un système d'équations pour déterminer les coordonnées du point I.

Partie B

▶ 1. Étudiez successivement la nature des triangles EDB et EFB.

▶ 2. b) Calculez successivement $\vec{ME} \cdot \vec{MB}$ et les distances ME et MB.

▶ 3. b) Justifiez que l'angle θ est maximal si et seulement si cos(θ) est minimal. Concluez.

Corrigé

Partie A

▶ 1. Montrer qu'un vecteur est normal à un plan E31c • E32a • E33a

D'après la figure et le repère fournis, on a les coordonnées des points suivants :

D(0 0 0), E(1 0 1), F(1 1 1), B(1 1 0), G(0 1 1).

On a ensuite :

$\vec{EB} | \begin{array}{l} x_{B} - x_{E} = 1 - 1 = 0 \\ y_{B} - y_{E} = 1 - 0 = 1 \\ z_{B} - z_{E} = 0 - 1 = - 1 \end{array}$ $\vec{EG} | \begin{array}{l} x_{G} - x_{E} = 0 - 1 = - 1 \\ y_{G} - y_{E} = 1 - 0 = 1 \\ z_{G} - z_{E} = 1 - 1 = 0 \end{array}$ et $\vec{DF} | \begin{array}{l} x_{F} - x_{D} = 1 - 0 = 1 \\ y_{F} - y_{D} = 1 - 0 = 1 \\ z_{F} - z_{D} = 1 - 0 = 1 \end{array}$

Les coordonnées des vecteurs $\vec{EB}$ et $\vec{EG}$ n'étant pas proportionnelles, les vecteurs $\vec{EB}$ et $\vec{EG}$ ne sont pas colinéaires.

De plus, on a :

$\vec{DF} \cdot \vec{EB} = 1 \times 0 + 1 \times 1 + 1 \times (- 1) = 0$ donc $\vec{DF}$ est orthogonal à $\vec{EB}$

$\vec{DF} \cdot \vec{EG} = 1 \times (- 1) + 1 \times 1 + 1 \times 0 = 0$ donc $\vec{DF}$ est orthogonal à $\vec{EG}$ .

Le vecteur $\vec{DF}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EBG) donc le vecteur $\vec{DF}$ est normal au plan (EBG).

▶ 2. Déterminer une équation cartésienne d'un plan E33c

Le vecteur $\vec{DF}$ de coordonnées (1 1 1) est normal au plan (EBG), une équation cartésienne de ce plan est donc : 1x + 1y + 1z + d = 0 où d est un réel à déterminer. Or, le point E(1 0 1) appartient au plan (EBG) donc :

xE + yE + zE + d = 0 ⇔ 1 + 0 + 1 + d = 0 ⇔ d = - 2.

Une équation cartésienne du plan (EBG) est donc $x + y + z - 2 = 0$ .

▶ 3. Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection E30 • E33c

Le vecteur $\vec{DF} (1 1 1)$ est un vecteur directeur de la droite (DF). Une représentation paramétrique de la droite (DF) est alors donnée par :

${\begin{cases} x = x_{D} + x_{\vec{DF}} \times t \\ y = y_{D} + y_{\vec{DF}} \times t \\ z = z_{D} + z_{\vec{DF}} \times t \end{cases}, t \in ℝ$ ce qui nous donne ${\begin{cases} x = 0 + 1 \times t = t \\ y = 0 + 1 \times t = t \\ z = 0 + 1 \times t = t \end{cases}, t \in ℝ$ .

$\begin{array}{l} I (x y z) \in (DF) \cap (EBG) \Leftrightarrow {\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \\ x + y + z - 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \\ t + t + t - 2 = 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow x = y = z = t = \frac{2}{3} \end{array}$

Le point I a donc pour coordonnées $(\frac{2}{3} \frac{2}{3} \frac{2}{3})$ .

Partie B

▶ 1. Déterminer une mesure pour un angle sous contrainte

Si le point M est confondu avec le point D, alors $\hat{EMB} = \hat{EDB}$ . Les côtés du triangle EDB ont tous la même mesure puisqu'ils correspondent tous à une diagonale d'une face du cube. Le triangle EDB est donc équilatéral : $θ = \hat{EMB} = \hat{EDB} = 60 ° = \frac{π}{3} rad$ .

Si le point M est confondu avec le point F, alors $\hat{EMB} = \hat{EFB}$ . Or le triangle EFB est rectangle en F puisque, dans le carré EFBA, on a $\hat{EFB} = 90 °$ . Par conséquent, $θ = \hat{EMB} = \hat{EFB} = 90 ° = \frac{π}{2} rad$ .

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point E27

$\vec{DM} = x \vec{DF} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{M} - x_{D} = x \times x_{\vec{DF}} \\ y_{M} - y_{D} = x \times y_{\vec{DF}} \\ z_{M} - z_{D} = x \times z_{\vec{DF}} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{M} - 0 = x \times 1 \\ y_{M} - 0 = x \times 1 \\ z_{M} - 0 = x \times 1 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x_{M} = x \\ y_{M} = x \\ z_{M} = x \end{cases}$

Le point M a donc pour coordonnées $(x x x)$ .

b) Déterminer le cosinus d'un angle à l'aide d'un produit scalaire E31a • E31c

Puisque E ∉[DF] et B ∉[DF], on a $\vec{ME} \neq \vec{0}$ et $\vec{MB} \neq \vec{0}$ . Le produit scalaire $\vec{ME} \cdot \vec{MB}$ est donc bien défini et donné par : $\vec{ME} \cdot \vec{MB} = ME \times MB \times cos (\vec{ME}, \vec{MB}) = ME \times MB \times cos (θ)$ .

On a :

$\vec{ME} | \begin{array}{l} x_{E} - x_{M} = 1 - x \\ y_{E} - y_{M} = 0 - x = - x \\ z_{E} - z_{M} = 1 - x \end{array}$ et $\vec{MB} | \begin{array}{l} x_{B} - x_{M} = 1 - x \\ y_{B} - y_{M} = 1 - x \\ z_{B} - z_{M} = 0 - x = - x \end{array}$

à noter

Pour tous réels a et b, ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ .

$\begin{matrix} \vec{ME} \cdot \vec{MB} = x_{\vec{ME}} \times x_{\vec{MB}} + y_{\vec{ME}} \times y_{\vec{MB}} + z_{\vec{ME}} \times z_{\vec{MB}} \\ = {(1 - x)}_{2} + (- x) \times (1 - x) + (1 - x) \times (- x) \\ = 1 - 2 x + x^{2} - x + x^{2} - x + x^{2} \\ = 3 x^{2} - 4 x + 1 . \end{matrix}$

$\begin{array}{l} ME = ‖ \vec{ME} ‖ = \sqrt{x_{\vec{ME}}^{2} + y_{\vec{ME}}^{2} + z_{\vec{ME}}^{2}} \\ = \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(- x)}^{2} + {(1 - x)}^{2}} \\ = \sqrt{1 - 2 x + x^{2} + x^{2} + 1 - 2 x + x^{2}} \\ = \sqrt{3 x^{2} - 4 x + 2} . \end{array}$

De même, $MB = ‖ \vec{MB} ‖ = \sqrt{3 x^{2} - 4 x + 2} .$

Par conséquent, puisque MB = ME ≠ 0, on a :

$\cos (θ) = \frac{\vec{ME} \cdot \vec{MB}}{ME \times MB} = \frac{\vec{ME} \cdot \vec{MB}}{{ME}^{2}} = \frac{3 x^{2} - 4 x + 1}{3 x^{2} - 4 x + 2}$ .

▶ 3. a) Déterminer la position d'un point pour qu'un triangle soit rectangle E19d

Le triangle MEB est rectangle en M si et seulement si $θ = \hat{EMB} = \frac{π}{2} rad$ . Or, comme 0 ≤ θ ≤ π, c'est équivalent à cos(θ) = 0, soit f(x) = 0.

$f (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} ou x = 1 \Leftrightarrow M = J ou M = F$

Le triangle MEB est rectangle en M si et seulement si M est en J ou M est en F sur le segment [DF].

b) Déterminer la position d'un point pour qu'un angle soit maximal E19d

D'après le tableau de variations, si x ∈[0 1], alors $f (x) = \cos (θ) \in [- \frac{1}{2} \frac{1}{2}]$ .

Or $\cos (θ) \in [- \frac{1}{2} \frac{1}{2}] \underset{0 \leq θ \leq π}{\Leftrightarrow} \frac{π}{3} \leq θ \leq \frac{2 π}{3}$ . La fonction cosinus étant strictement décroissante sur [0 π], l'angle θ est maximal, égal à $\frac{2 π}{3}$ , si et seulement si $\cos (θ)$ est minimal, égal à $- \frac{1}{2}$ . Il en découle, d'après le tableau de variations, que l'angle θ est maximal si et seulement si $x = \frac{2}{3}$ .

En conclusion, d'après la question 3. de la partie A et la question 2. a) de la partie B, l'angle $θ$ est maximal si et seulement si M est en I sur le segment [DF].

Promenade sur la diagonale d'un cube

partie a

partie b

Partie A

Partie B

Partie A

▶ 1. Montrer qu'un vecteur est normal à un plan E31c • E32a • E33a

▶ 2. Déterminer une équation cartésienne d'un plan E33c

▶ 3. Déterminer les coordonnées d'un point d'intersection E30 • E33c

Partie B

▶ 1. Déterminer une mesure pour un angle sous contrainte

▶ 2. a) Déterminer les coordonnées d'un point E27

b) Déterminer le cosinus d'un angle à l'aide d'un produit scalaire E31a • E31c

▶ 3. a) Déterminer la position d'un point pour qu'un triangle soit rectangle E19d

b) Déterminer la position d'un point pour qu'un angle soit maximal E19d

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