Propagation d'un virus

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Suites numériques
Type : Exercice | Année : 2017 | Académie : France métropolitaine


France métropolitaine • Juin 2017

Exercice 4 • 5 points • 1 h

Propagation d’un virus

Les thèmes clés

Probabilités conditionnelles • Suites

 

On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine.

Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité :

soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type S » ;

soit malade (atteint par le virus) ;

soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;

parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés ;

tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1.

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

Sn : « l’individu est de type S en semaine n » ;

Mn : « l’individu est malade en semaine n » ;

In : « l’individu est immunisé en semaine n ».

En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :

P(S0= 1, P(M0= 0 et P(I0= 0.

Partie A

On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :

matT_1706_07_01C_04

2. Montrer que P(I2= 0,2025.

3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?

Partie B

On étudie dans cette partie l’évolution à long terme de l’épidémie.

Pour tout entier naturel n, on note un = P(Sn), vn = P(Mn) et wn = P(In) les probabilités respectives des événements Sn, Mn et In.

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un + vn + wn = 1.

On admet que la suite (vn) est définie par v0 = 0 et, pour tout entier naturel n :

vn+1 = 0,65vn + 0,05un.

2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un), (vn) et (wn) :

A

B

C

D

1

n

un

vn

wn

2

0

1

0

0

3

1

0,8500

0,0500

0,1000

4

2

0,7225

0,0750

0,2025

5

3

0,6141

0,0849

0,3010

6

4

0,5220

0,0859

0,3921

7

5

0,4437

0,0819

0,4744

8

6

0,3771

0,0754

0,5474

20

18

0,0536

0,0133

0,9330

21

19

0,0456

0,0113

0,9431

22

20

0,0388

0,0096

0,9516

Pour répondre aux questions a) et b) suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.

a) Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn) ?

b) On admet que les termes de (vn) augmentent, puis diminuent à partir d’un certain rang N, appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,85 un.

En déduire l’expression de un en fonction de n.

b) Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a :

vn=14(0,85n0,65n).

4. Calculer les limites de chacune des trois suites (un), (vn) et (wn).

Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

Les clés du sujet

Partie A

2. Identifiez tous les chemins menant à l’événement I2 avant d’appliquer la formule des probabilités totales.

Partie B

3. a) Remarquez que seul un chemin passant par l’événement Sn permet d’aboutir à l’événement Sn+1. Utilisez ensuite la notation un = P(Sn) et la formule des probabilités totales pour conclure.