Partie A

▶ 1. Compléter un arbre de probabilités

D'après l'énoncé, pour tout entier naturel n :

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 85 % restent de type S. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement ${\text{S}}_{n+1}$ se réalise sachant que l'événement S_n s'est déjà réalisé ; on a donc $P_{{\text{S}}_n}({\text{S}}_{n+1})=\mathrm{0,85}$. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne $P_{{\text{S}}_0}({\text{S}}_1)=P_{{\text{S}}_1}({\text{S}}_2)=\mathrm{0,85}$.

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 5 % deviennent malades. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement ${\text{M}}_{n+1}$ se réalise sachant que l'événement S_n s'est déjà réalisé ; on a donc $P_{{\text{S}}_n}({\text{M}}_{n+1})=\mathrm{0,05}$. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne $P_{{\text{S}}_0}({\text{M}}_1)=P_{{\text{S}}_1}({\text{M}}_2)=\mathrm{0,05}$.

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 10 % deviennent immunisés. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement ${\text{I}}_{n+1}$ se réalise sachant que l'événement S_n s'est déjà réalisé ; on a donc $P_{{\text{S}}_n}({\text{I}}_{n+1})=\mathrm{0,10}$. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne $P_{{\text{S}}_0}({\text{I}}_1)=P_{{\text{S}}_1}({\text{I}}_2)=\mathrm{0,10}$.

Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 65 % restent malades. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement ${\text{M}}_{n+1}$ se réalise sachant que l'événement M_n s'est déjà réalisé ; on a donc $P_{{\text{M}}_n}({\text{M}}_{n+1})=\mathrm{0,65}$. Dans le cas où n = 1, cela donne $P_{{\text{M}}_1}({\text{M}}_2)=\mathrm{0,65}$.

Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 35 % sont guéris et deviennent immunisés. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement ${\text{I}}_{n+1}$ se réalise sachant que l'événement M_n s'est déjà réalisé ; on a donc $P_{{\text{M}}_n}({\text{I}}_{n+1})=\mathrm{0,35}$. Dans le cas où n = 1, cela donne $P_{{\text{M}}_1}({\text{I}}_2)=\mathrm{0,35}$.

Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement ${\text{I}}_{n+1}$ se réalise sachant que l'événement I_n s'est déjà réalisé ; on a donc $P_{{\text{I}}_n}({\text{I}}_{n+1})=1$. Dans le cas où n = 1, on a $P_{{\text{I}}_1}({\text{I}}_2)=1$.

On résume toutes ces informations dans l'arbre de probabilités ci-dessous.

▶ 2. Calculer une probabilité

Les chemins menant à l'événement I₂ sont S₀ ∩ S₁ ∩ I₂, S₀ ∩ M₁ ∩ I₂ et S₀ ∩ I₁ ∩ I₂.

D'après la formule des probabilités totales, nous avons :

$\begin{array}{l}P({\text{I}}_2)=P({\text{S}}_0\cap {\text{S}}_1\cap {\text{I}}_2)+P({\text{S}}_0\cap {\text{M}}_1\cap {\text{I}}_2)+P({\text{S}}_0\cap {\text{I}}_1\cap {\text{I}}_2)\\ =P({\text{S}}_0)\times P_{{\text{S}}_0}({\text{S}}_1)\times P_{{\text{S}}_1}({\text{I}}_2)+P({\text{S}}_0)\times P_{{\text{S}}_0}({\text{M}}_1)\times P_{{\text{M}}_1}({\text{I}}_2)\\ +P({\text{S}}_0)\times P_{{\text{S}}_0}({\text{I}}_1)\times P_{{\text{I}}_1}({\text{I}}_2)\\ =1\times \mathrm{0,85}\times \mathrm{0,10}+1\times \mathrm{0,05}\times \mathrm{0,35}+1\times \mathrm{0,10}\times 1\\ =\mathrm{0,2025}.\end{array}$

La probabilité $P({\text{I}}_2)$ est bien égale à 0,2025.

▶ 3. Calculer une probabilité conditionnelle

Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, la probabilité qu'il ait été malade en semaine 1 est la probabilité conditionnelle $P_{{\text{I}}_2}({\text{M}}_1)$. Par définition, puisque d'après la question précédente P(I₂) = 0,2025 ≠ 0, nous avons :

$\begin{array}{c}{P}_{{\text{I}}_2}({\text{M}}_1)=\frac{P({\text{M}}_1\cap {\text{I}}_2)}{P({\text{I}}_2)}=\frac{P({\text{S}}_0\cap {\text{M}}_1\cap {\text{I}}_2)}{\mathrm{0,2025}}\\ =\frac{P({\text{S}}_0)\times P_{{\text{S}}_0}({\text{M}}_1)\times P_{{\text{M}}_1}({\text{I}}_2)}{\mathrm{0,2025}}=\frac{1\times \mathrm{0,05}\times \mathrm{0,35}}{\mathrm{0,2025}}\approx \mathrm{0,086}.\end{array}$

La probabilité qu'un individu ait été malade en semaine 1 sachant qu'il est immunisé en semaine 2 est 0,086, arrondie au millième.

Partie B

▶ 1. Justifier une égalité

Pour tout entier naturel n, lors de la semaine n, un individu peut être, à l'exclusion de tout autre possibilité, soit de type S, soit malade, soit immunisé. La somme des probabilités des événements disjoints S_n, M_n et I_n est donc égale à 1. Ainsi, pour tout entier naturel n, P(S_n) + P(M_n) + P(I_n)= 1 soit u_n + v_n + w_n = 1.

▶ 2. a) Proposer une formule de tableur

Pour tout entier naturel n, nous avons, d'après l'énoncé, v_n+1 = 0,65v_n + 0,05u_n. Pour calculer le terme de la suite $(v_n)$ de la cellule C3, nous avons donc besoin du terme d'indice précédent de la suite $(v_n)$ qui se trouve en C2 et du terme d'indice précédent de la suite $(u_n)$ qui se trouve en B2.

Une formule à saisir dans la cellule C3 permettant de calculer, par recopie vers le bas, les termes de la suite $(v_n)$ est « =0,65*C2+0,05*B2 ».

b) Déterminer une valeur seuil

D'après la feuille de calcul reproduite dans l'énoncé, on constate que les termes de la suite $(v_n)$ augmentent, puis diminuent à partir de N = 4 (cellule A6).

La valeur du pic épidémique prévue par le modèle est donc N = 4.

▶ 3. a) Identifier une suite géométrique et sa formule explicite

Pour tout entier naturel n, seul le chemin S_n ∩ S_n+1 aboutit à l'événement ${\text{S}}_{n+1}$.

D'après la question 1. de la partie A, nous avons, pour tout entier naturel n, $P_{{\text{S}}_n}({\text{S}}_{n+1})=\mathrm{0,85}$. Nous en déduisons donc : $u_{n+1}=P({\text{S}}_{n+1})=P({\text{S}}_n\cap {\text{S}}_{n+1})=P({\text{S}}_n)\times P_{{\text{S}}_n}({\text{S}}_{n+1})=u_n\times \mathrm{0,85}=\mathrm{0,85}{u}_n$.

La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison q = 0,85 et de premier terme u₀ = P(S₀) = 1. Nous avons ainsi, pour tout entier naturel n, $u_n=u_0\times q^n=1\times {\mathrm{0,85}}^n={\mathrm{0,85}}^n$.

b) Raisonner par récurrence

Soit P(n) la propriété : $v_n=\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^n-{\mathrm{0,65}}^n)$.

Initialisation : v₀ = P(M₀) = 0 (énoncé) et $\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^0-{\mathrm{0,65}}^0)=\frac{1}{4}\times (1-1)=0$ donc $v_0=\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^0-{\mathrm{0,65}}^0)$ et la propriété est initialisée pour n = 0.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k.

D'après l'hypothèse de récurrence, on a : $v_k=\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^k-{\mathrm{0,65}}^k)$.

Démontrons alors que P(k + 1) est également vérifiée.

$\begin{array}{c}{v}_{k+1}=\mathrm{0,65}{v}_k+\mathrm{0,05}{u}_k\\ =\mathrm{0,65}\times \underset{\text{hypothèse de récurrence}}{\underbrace{\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^k-{\mathrm{0,65}}^k)}}+\mathrm{0,05}\times \underset{\text{question }3.a)\text{ de la partie }B}{\underbrace{{\mathrm{0,85}}^k}}\\ =\frac{1}{4}\times [\mathrm{0,65}\times ({\mathrm{0,85}}^k-{\mathrm{0,65}}^k)+4\times \mathrm{0,05}\times {\mathrm{0,85}}^k]\\ =\frac{1}{4}\times [\mathrm{0,65}\times {\mathrm{0,85}}^k-{\mathrm{0,65}}^{k+1}+\mathrm{0,2}\times {\mathrm{0,85}}^k]\\ =\frac{1}{4}\times \left[\underset{=\mathrm{0,85}}{\underbrace{(\mathrm{0,65}+\mathrm{0,2})}}\times {\mathrm{0,85}}^k-{\mathrm{0,65}}^{k+1}\right]\\ =\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^{k+1}-{\mathrm{0,65}}^{k+1}).\end{array}$

La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion : la propriété P(n) est initialisée pour n = 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_n=\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^n-{\mathrm{0,65}}^n)$.

▶ 4. Calculer des limites de suites

Pour tout entier naturel n, nous avons $u_n={\mathrm{0,85}}^n$. Comme - 1 $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{u}_n=\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{\mathrm{0,85}}^n=0$.

Pour tout entier naturel n, nous avons $v_n=\frac{1}{4}({\mathrm{0,85}}^n-{\mathrm{0,65}}^n)=\frac{1}{4}(u_n-{\mathrm{0,65}}^n)$. Comme - 1 $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{\mathrm{0,65}}^n=0$. Par différence et produit, nous avons alors $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{v}_n=\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}\frac{1}{4}(u_n-{\mathrm{0,65}}^n)=\frac{1}{4}\times (0-0)=0$.

Pour tout entier naturel n, nous avons u_n + v_n + w_n = 1 (question B 1.), soit w_n = 1 - u_n - v_n. Par différence des limites, nous avons $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{w}_n=1-0-0=1$.

Par ce modèle, puisque $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{u}_n=0$, $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{v}_n=0$ et $\underset{n\to +\text{∞}}{\text{lim}}{w}_n=1$, nous pouvons déduire qu'à long terme, tous les individus seront immunisés.