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Propagation d'un virus

Suites numériques

Propagation d'un virus

1 heure

5 points

Intérêt du sujet  La propagation d'un virus dans une population peut être estimée par des modèles mathématiques compartimentaux tel le SIR. Le modèle étudié ici fait appel à des probabilités conditionnelles et des suites numériques.

 

On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine.

Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité :

soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est « de type S » ;

soit malade (atteint par le virus) ;

soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus.

Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes :

parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés ;

parmi les individus malades en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1 : 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés ;

tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1.

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les événements suivants :

Sn : « l'individu est de type S en semaine n » ;

Mn : « l'individu est malade en semaine n » ;

In : « l'individu est immunisé en semaine n ».

En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :

P(S0) = 1, P(M0) = 0 et P(I0) = 0.

Partie A

On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2.

1. Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous :

matT_1706_07_01C_04

2. Montrer que P(I2) = 0,2025.

3. Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ?

Partie B

On étudie dans cette partie l'évolution à long terme de l'épidémie.

Pour tout entier naturel n, on note un = P(Sn), vn = P(Mn) et wn = P(In) les probabilités respectives des événements Sn, Mn et In.

1. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : unvnwn = 1.

On admet que la suite (vn) est définie par v0 = 0 et, pour tout entier naturel n :

vn+1 = 0,65vn + 0,05un.

2. À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un), (vn) et (wn) :

Tableau de 13 lignes, 5 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : ;A;B;C;D;Corps du tableau de 12 lignes ;Ligne 1 : 1; n; un; vn; wn; Ligne 2 : 2; 0; 1; 0; 0; Ligne 3 : 3; 1; 0,8500; 0,0500; 0,1000; Ligne 4 : 4; 2; 0,7225; 0,0750; 0,2025; Ligne 5 : 5; 3; 0,6141; 0,0849; 0,3010; Ligne 6 : 6; 4; 0,5220; 0,0859; 0,3921; Ligne 7 : 7; 5; 0,4437; 0,0819; 0,4744; Ligne 8 : 8; 6; 0,3771; 0,0754; 0,5474; Ligne 9 : …; …; …; …; …; Ligne 10 : 20; 18; 0,0536; 0,0133; 0,9330; Ligne 11 : 21; 19; 0,0456; 0,0113; 0,9431; Ligne 12 : 22; 20; 0,0388; 0,0096; 0,9516;

Pour répondre aux questions a) et b) suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.

a) Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn) ?

b) On admet que les termes de (vn) augmentent, puis diminuent à partir d'un certain rang N, appelé le « pic épidémique » : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle.

3. a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0,85 un.

En déduire l'expression de un en fonction de n.

b) Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a :

vn=14(0,85n0,65n).

4. Calculer les limites de chacune des trois suites (un), (vn) et (wn).

Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

Les clés du sujet

Partie A

2. Identifiez tous les chemins menant à l'événement I2 avant d'appliquer la formule des probabilités totales.

Partie B

3. a) Remarquez que seul un chemin passant par l'événement Sn permet d'aboutir à l'événement Sn+1. Utilisez ensuite la notation un = P(Sn) et la formule des probabilités totales pour conclure.

Partie A

1. Compléter un arbre de probabilités

D'après l'énoncé, pour tout entier naturel n :

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine + 1, 85 % restent de type S. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement Sn+1 se réalise sachant que l'événement Sn s'est déjà réalisé ; on a donc PSn(Sn+1)=0,85. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne PS0(S1)=PS1(S2)=0,85.

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 5 % deviennent malades. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement Mn+1 se réalise sachant que l'événement Sn s'est déjà réalisé ; on a donc PSn(Mn+1)=0,05. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne PS0(M1)=PS1(M2)=0,05.

Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 10 % deviennent immunisés. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement In+1 se réalise sachant que l'événement Sn s'est déjà réalisé ; on a donc PSn(In+1)=0,10. Dans les cas n = 0 et n = 1, cela donne PS0(I1)=PS1(I2)=0,10.

Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 65 % restent malades. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement Mn+1 se réalise sachant que l'événement Mn s'est déjà réalisé ; on a donc PMn(Mn+1)=0,65. Dans le cas où n = 1, cela donne PM1(M2)=0,65.

Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 35 % sont guéris et deviennent immunisés. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement In+1 se réalise sachant que l'événement Mn s'est déjà réalisé ; on a donc PMn(In+1)=0,35. Dans le cas où n = 1, cela donne PM1(I2)=0,35.

Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1. Il s'agit d'une probabilité conditionnelle, probabilité que l'événement In+1 se réalise sachant que l'événement In s'est déjà réalisé ; on a donc PIn(In+1)=1. Dans le cas où n = 1, on a PI1(I2)=1.

On résume toutes ces informations dans l'arbre de probabilités ci-dessous.

matT_1706_07_01C_08

2. Calculer une probabilité

à noter

D'après l'énoncé, P(S0) = 1 : il est certain que l'individu choisi au hasard soit de type S en semaine 0.

Les chemins menant à l'événement I2 sont S0 ∩ S1 ∩ I2, S0 ∩ M1 ∩ I2 et S0 ∩ I1 ∩ I2.

D'après la formule des probabilités totales, nous avons :

P(I2)=P(S0S1I2)+P(S0M1I2)+P(S0I1I2)=P(S0)×PS0(S1)×PS1(I2)+P(S0)×PS0(M1)×PM1(I2)+P(S0)×PS0(I1)×PI1(I2)=1×0,85×0,10+1×0,05×0,35+1×0,10×1=0,2025.

La probabilité P(I2) est bien égale à 0,2025.

3. Calculer une probabilité conditionnelle

Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, la probabilité qu'il ait été malade en semaine 1 est la probabilité conditionnelle PI2(M1). Par définition, puisque d'après la question précédente P(I2) = 0,2025 ≠ 0, nous avons :

PI2(M1)=P(M1I2)P(I2)=P(S0M1I2)0,2025=P(S0)×PS0(M1)×PM1(I2)0,2025=1×0,05×0,350,20250,086.

La probabilité qu'un individu ait été malade en semaine 1 sachant qu'il est immunisé en semaine 2 est 0,086, arrondie au millième.

Partie B

1. Justifier une égalité

Pour tout entier naturel n, lors de la semaine n, un individu peut être, à l'exclusion de tout autre possibilité, soit de type S, soit malade, soit immunisé. La somme des probabilités des événements disjoints Sn, Mn et In est donc égale à 1. Ainsi, pour tout entier naturel n, P(Sn) + P(Mn)P(In)= 1 soit unvnwn = 1.

2. a) Proposer une formule de tableur

Pour tout entier naturel n, nous avons, d'après l'énoncé, vn+1 = 0,65vn + 0,05un. Pour calculer le terme de la suite (vn) de la cellule C3, nous avons donc besoin du terme d'indice précédent de la suite (vn) qui se trouve en C2 et du terme d'indice précédent de la suite (un) qui se trouve en B2.

Une formule à saisir dans la cellule C3 permettant de calculer, par recopie vers le bas, les termes de la suite (vn) est « =0,65*C2+0,05*B2 ».

b) Déterminer une valeur seuil

D'après la feuille de calcul reproduite dans l'énoncé, on constate que les termes de la suite (vn) augmentent, puis diminuent à partir de N = 4 (cellule A6).

Tableau de 9 lignes, 5 colonnes ;Corps du tableau de 9 lignes ;Ligne 1 : ; A; B; C; D; Ligne 2 : 1; n; un; vn; wn; Ligne 3 : 2; 0; 1; 0; 0; Ligne 4 : 3; 1; 0,8500; 0,0500; 0,1000; Ligne 5 : 4; 2; 0,7225; 0,0750; 0,2025; Ligne 6 : 5; 3; 0,6141; 0,0849; 0,3010; Ligne 7 : 6; 4; 0,5220; 0,0859; 0,3921; Ligne 8 : 7; 5; 0,4437; 0,0819; 0,4744; Ligne 9 : 8; 6; 0,3771; 0,0754; 0,5474;

La valeur du pic épidémique prévue par le modèle est donc N = 4.

3. a) Identifier une suite géométrique et sa formule explicite

Pour tout entier naturel n, seul le chemin Sn ∩ Sn+1 aboutit à l'événement Sn+1.

D'après la question 1. de la partie A, nous avons, pour tout entier naturel n, PSn(Sn+1)=0,85. Nous en déduisons donc : un+1=P(Sn+1)=P(SnSn+1)=P(Sn)×PSn(Sn+1)=un×0,85=0,85un.

La suite (un) est donc une suite géométrique de raison q = 0,85 et de premier terme u0 = P(S0) = 1. Nous avons ainsi, pour tout entier naturel n, un=u0×qn=1×0,85n=0,85n.

b) Raisonner par récurrence

Soit P(n) la propriété : vn=14(0,85n0,65n).

Initialisation : v0 = P(M0) = 0 (énoncé) et 14(0,8500,650)=14×(11)=0 donc v0=14(0,8500,650) et la propriété est initialisée pour n = 0.

Hérédité : supposons que la propriété P(k) soit vraie pour un entier naturel k.

D'après l'hypothèse de récurrence, on a : vk=14(0,85k0,65k).

Démontrons alors que P(k + 1) est également vérifiée.

vk+1=0,65vk+0,05uk=0,65×14(0,85k0,65k)hypothèse de récurrence+0,05×0,85kquestion 3.a) de la partie B=14×[0,65×(0,85k0,65k)+4×0,05×0,85k]=14×[0,65×0,85k0,65k+1+0,2×0,85k]=14×(0,65+0,2)=0,85×0,85k0,65k+1=14(0,85k+10,65k+1).

La propriété P(k + 1) est donc vérifiée.

Conclusion : la propriété P(n) est initialisée pour n = 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel n. Ainsi, pour tout entier naturel n, vn=14(0,85n0,65n).

4. Calculer des limites de suites

à noter

Pour tout réel q tel que - 1 q limn+qn=0

Pour tout entier naturel n, nous avons un=0,85n. Comme - 1 limn+un=limn+0,85n=0.

Pour tout entier naturel n, nous avons vn=14(0,85n0,65n)=14(un0,65n). Comme - 1 limn+0,65n=0. Par différence et produit, nous avons alors limn+vn=limn+14(un0,65n)=14×(00)=0.

Pour tout entier naturel n, nous avons unvnwn = 1 (question B 1.), soit wn = 1 - un - vn. Par différence des limites, nous avons limn+wn=100=1.

Par ce modèle, puisque limn+un=0, limn+vn=0 et limn+wn=1, nous pouvons déduire qu'à long terme, tous les individus seront immunisés.

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