Matrices et suites
matT_1405_09_04C
Ens. de spécialité
39
CORRIGE
Liban • Mai 2014
Exercice 4 • 5 points
Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.
Un individu sain est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.
Un individu malade est un individu touché par la maladie et non guéri.
Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.
Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.
Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant :
- 5 % des individus sains tombent malades
- 20 % des individus malades guérissent.
Pour tout entier naturel n, on note an la proportion d'individus sains n jours après le début de l'expérience, bn la proportion d'individus malades n jours après le début de l'expérience, et cn celle d'individus guéris n jours après le début de l'expérience.
On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est-à-dire que a0
On admet que cn+1
Pour tout entier naturel n, on définit 
.
On définit les matrices 
et 
.
On admet qu'il existe une matrice inversible P telle que :
D
et que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :
An
On admet que, pour tout entier naturel n, Un
.
On admet que 
.
(0,95n – 0,8n).
On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est-à-dire le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum.
À cet effet, on utilise l'algorithme ci-dessous, dans lequel on compare les termes successifs de la suite (bn).
Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau qui suit.
| Variables | b, k est un entier naturel | |
| Initialisation | Affecter à b la valeur 0 Affecter à Affecter à k la valeur 0 Affecter à x la valeur 0,95 Affecter à y la valeur 0,8 | |
| Traitement | Tant que b | |
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| Affecter à k la valeur k + 1 Affecter à b la valeur Affecter à x la valeur 0,95x Affecter à y la valeur 0,8y Affecter à |
|
| Fin Tant que | |
| Sortie | Afficher …... | |
faire :
|
| k | b | c | d |
| Test : b |
| Après le 7e passage dans la boucle Tant que | 7 | 0,162 8 | 0,663 4 | 0,167 8 | 0,165 2 | Vrai |
| Après le 8e passage éventuel dans la boucle Tant que |
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| Après le 9e passage éventuel dans la boucle Tant que |
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?Conclure.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Matrices • Suites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Propriétés associées aux suites
E1 • E2 c • E4 d → 3. b) et 4. b)
Nos coups de pouce
. Concluez en utilisant les relations établies dans les questions précédentes.
. Calculez le produit matriciel 
Concluez par identification en utilisant la définition de 
.
> 1. Traduire un énoncé
Au début de l'expérience, tous les individus sont sains. La proportion d'individus sains le premier jour est alors 
comme précisé dans l'énoncé. 5 % des individus sains tombent malades d'un jour au jour suivant. La proportion des individus sains qui tombent malades après une journée d'expérience est ainsi de 0,05 : 
Ensuite, en revanche, 95 % des individus sains restent sains d'un jour au jour suivant. La proportion des individus sains qui restent sains après une journée d'expérience est ainsi 0
: 
Enfin, au début de l'expérience, tous les individus sont sains. Aucun individu n'est donc malade et ne peut guérir après une journée d'expérience : 
> 2. a) Établir une relation de récurrence
La proportion d'individus sains qui tombent malades d'un jour au jour suivant est de 
. En conséquence, la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant est 
Ainsi, 
Remarque. Un individu guéri a été touché par la maladie et ne peut donc être considéré sain les jours suivants (énoncé : un individu sain est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie).
b) Établir une relation
Soit 
un entier naturel.
- Parmi les individus sains
jours après le début de l'expérience dont la proportion est notée 
, 5 % d'entre eux tombent malades le jour suivant ce qui représente 
- Parmi les individus malades
jours après le début de l'expérience dont la proportion est notée 
, 20 % d'entre eux guérissent et ainsi 80 % d'entre eux restent malades ce qui représente 
Par suite, la proportion d'individus malades 
jours après le début de l'expérience est :
Remarque. Comme un individu guéri ne peut plus tomber malade, 
n'apparaît naturellement pas dans la relation précédente.
> 3. a) Vérifier une relation matricielle
Soit 
un entier naturel. Nous avons :
b) Démontrer une égalité matricielle par récurrence
Soit 
la propriété : 
Initialisation : d'une part, par convention, 
Notez bien
est la matrice identité d'ordre 3.
D'autre part, 
La propriété 
est donc vraie.
Hérédité : supposons que la propriété 
est vraie pour un entier naturel 
. Démontrons alors que la propriété 
est vraie
En effet, nous avons :
(hypothèse de récurrence et définition de 
)
La proposition 
est donc vraie.
Conclusion : du principe de récurrence, nous en déduisons que 
> 4. a) Établir une relation
Soit 
un entier naturel.
D'après l'énoncé, 
, 
et 
. Par conséquent,
De plus, d'une part, 
(question
(question
.
D'autre part, par définition, 
Par identification, nous en concluons que 
.
b) Déterminer une limite
Comme 
, alors 
. De même, comme 
, alors 
. Par différence et produit, nous avons alors 
La suite 
converge donc vers 0.
Remarque. L'interprétation de cette limite est la suivante : « plus les jours passent, plus la proportion d'individus malades dans la population étudiée se rapproche de 0 ».
c) Comprendre et compléter un algorithme
D'après l'énoncé, l'algorithme donné compare les termes successifs de la suite 
, proportion d'individus malades dans la population. D'après la question 
Par suite, nous devons 
.
L'objectif de l'algorithme étant de déterminer le moment où la proportion d'individus malades est à son maximum (pic épidémique), en sortie, 
.
Tableau complété
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| Test |
| Après le 7e passage dans la boucle Tant que | 7 | 0,1628 | 0,6634 | 0,1678 | 0,1652 | Vrai |
| Après le 8e passage éventuel dans la boucle Tant que | 8 | 0,1652 | 0,6302 | 0,1342 | 0,1653 | Vrai |
| Après le 9e passage éventuel dans la boucle Tant que | 9 | | 0,5987 | 0,1074 | | Faux |
Notez bien
L'énoncé comportait une erreur dans le tableau à compléter : c et d au lieu de x et y. Ne vous laissez pas impressionner et rétablissez les bonnes lettres.