Propagation d’une maladie

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Propagation d’une maladie

Matrices et suites

matT_1405_09_04C

Ens. de spécialité

39

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 4 • 5 points

Un laboratoire étudie la propagation d’une maladie sur une population.

Un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie.

Un individu malade est un individu touché par la maladie et non guéri.

Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

Les premières observations nous montrent que, d’un jour au jour suivant :

  • 5 % des individus sains tombent malades 
  • 20 % des individus malades guérissent.

Pour tout entier naturel n, on note an la proportion d’individus sains n jours après le début de l’expérience, bn la proportion d’individus malades n jours après le début de l’expérience, et cn celle d’individus guéris n jours après le début de l’expérience.

On suppose qu’au début de l’expérience, tous les individus sont sains, c’est-à-dire que a0= 1, b0= 0, et c0= 0.

>1. Calculer a1, b1 et c1.

>2. a) Quelle est la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant ? En déduire an+1 en fonction de an.

b) Exprimer bn+1 en fonction de an et bn.

On admet que cn+1= 0,2bn+cn.

Pour tout entier naturel n, on définit .

On définit les matrices et .

On admet qu’il existe une matrice inversible P telle que :

D=P–1 × A × P

et que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

An=P × Dn × P–1.

>3. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Un+1=A × Un.

On admet que, pour tout entier naturel n, Un=An × U0.

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,.

On admet que .

>4. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, bn=(0,95n – 0,8n).

b) Déterminer la limite de la suite (bn).

c) On admet que la proportion d’individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroît.

On souhaite déterminer le pic épidémique, c’est-à-dire le moment où la proportion d’individus malades est à son maximum.

À cet effet, on utilise l’algorithme ci-dessous, dans lequel on compare les termes successifs de la suite (bn).

Compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau qui suit.

 

Variables

b,, x et y sont des réels

k est un entier naturel

Initialisation

Affecter à b la valeur 0

Affecter à la valeur 0,05

Affecter à k la valeur 0

Affecter à x la valeur 0,95

Affecter à y la valeur 0,8

Traitement

Tant que b faire :

Affecter à k la valeur k + 1

Affecter à b la valeur

Affecter à x la valeur 0,95x

Affecter à y la valeur 0,8y

Affecter à la valeur …...

Fin Tant que

Sortie

Afficher …...

 
 

k

b

c

d

Test : b?

Après le 7e passage dans la boucle Tant que

7

0,162 8

0,663 4

0,167 8

0,165 2

Vrai

Après le 8e passage éventuel dans la boucle Tant que

Après le 9e passage éventuel dans la boucle Tant que

 

Conclure.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés associées aux suites  E1 • E2c • E4d  → 3. b) et 4. b)

Nos coups de pouce

>3. a) Calculez le produit matriciel . Concluez en utilisant les relations établies dans les questions précédentes.

>4. a) Précisez . Calculez le produit matriciel Concluez par identification en utilisant la définition de .

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