Propagation d’une maladie

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Type : Exercice | Année : 2014 | Académie : Moyen-Orient
Corpus Corpus 1
Propagation d’une maladie

Matrices et suites

matT_1405_09_04C

Ens. de spécialité

39

CORRIGE

Liban • Mai 2014

Exercice 4 • 5 points

Un laboratoire étudie la propagation d’une maladie sur une population.

Un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie.

Un individu malade est un individu touché par la maladie et non guéri.

Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.

Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.

Les premières observations nous montrent que, d’un jour au jour suivant :

  • 5 % des individus sains tombent malades ;
  • 20 % des individus malades guérissent.

Pour tout entier naturel n, on note an la proportion d’individus sains n jours après le début de l’expérience, bn la proportion d’individus malades n jours après le début de l’expérience, et cn celle d’individus guéris n jours après le début de l’expérience.

On suppose qu’au début de l’expérience, tous les individus sont sains, c’est-à-dire que a0= 1, b0= 0, et c0= 0.

>1. Calculer a1, b1 et c1.

>2. a) Quelle est la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant ? En déduire an+1 en fonction de an.

b) Exprimer bn+1 en fonction de an et bn.

On admet que cn+1= 0,2bn+cn.

Pour tout entier naturel n, on définit .

On définit les matrices et .

On admet qu’il existe une matrice inversible P telle que :

D=P–1 × A × P

et que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :

An=P × Dn × P–1.

>3. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Un+1=A × Un.

On admet que, pour tout entier naturel n, Un=An × U0.

b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,.

On admet que .

>4. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, bn=(0,95n – 0,8n).

b) Déterminer la limite de la suite (bn).

c) On admet que la proportion d’individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroît.

On souhaite déterminer le pic épidémique, c’est-à-dire le moment où la proportion d’individus malades est à son maximum.

À cet effet, on utilise l’algorithme ci-dessous, dans lequel on compare les termes successifs de la suite (bn).

Compléter l’algorithme de façon qu’il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et compléter le tableau qui suit.

 

Variables

b,, x et y sont des réels

k est un entier naturel

Initialisation

Affecter à b la valeur 0

Affecter à la valeur 0,05

Affecter à k la valeur 0

Affecter à x la valeur 0,95

Affecter à y la valeur 0,8

Traitement

Tant que b< faire :

Affecter à k la valeur k + 1

Affecter à b la valeur

Affecter à x la valeur 0,95x

Affecter à y la valeur 0,8y

Affecter à la valeur …...

Fin Tant que

Sortie

Afficher …...

 
 

k

b

c

d

Test : b< ?

Après le 7e passage dans la boucle Tant que

7

0,162 8

0,663 4

0,167 8

0,165 2

Vrai

Après le 8e passage éventuel dans la boucle Tant que

Après le 9e passage éventuel dans la boucle Tant que

 

Conclure.

Les clés du sujet

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Matrices • Suites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Propriétés associées aux suites  E1 • E2c • E4d  → 3. b) et 4. b)

Nos coups de pouce

>3. a) Calculez le produit matriciel . Concluez en utilisant les relations établies dans les questions précédentes.

>4. a) Précisez . Calculez le produit matriciel Concluez par identification en utilisant la définition de .

Corrigé
Corrigé

>1. Traduire un énoncé

Au début de l’expérience, tous les individus sont sains. La proportion d’individus sains le premier jour est alors comme précisé dans l’énoncé. 5 % des individus sains tombent malades d’un jour au jour suivant. La proportion des individus sains qui tombent malades après une journée d’expérience est ainsi de 0,05 : Ensuite, en revanche, 95 % des individus sains restent sains d’un jour au jour suivant. La proportion des individus sains qui restent sains après une journée d’expérience est ainsi 0 : Enfin, au début de l’expérience, tous les individus sont sains. Aucun individu n’est donc malade et ne peut guérir après une journée d’expérience :

>2. a) Établir une relation de récurrence

La proportion d’individus sains qui tombent malades d’un jour au jour suivant est de . En conséquence, la proportion d’individus sains qui restent sains d’un jour au jour suivant est Ainsi, pour tout entier naturel

Remarque. Un individu guéri a été touché par la maladie et ne peut donc être considéré sain les jours suivants (énoncé : un individu sain est un individu n’ayant jamais été touché par la maladie).

b) Établir une relation

Soit un entier naturel.

  • Parmi les individus sains jours après le début de l’expérience dont la proportion est notée , 5 % d’entre eux tombent malades le jour suivant ce qui représente
  • Parmi les individus malades jours après le début de l’expérience dont la proportion est notée , 20 % d’entre eux guérissent et ainsi 80 % d’entre eux restent malades ce qui représente

Par suite, la proportion d’individus malades jours après le début de l’expérience est :

Remarque. Comme un individu guéri ne peut plus tomber malade, n’apparaît naturellement pas dans la relation précédente.

>3. a) Vérifier une relation matricielle

Soit un entier naturel. Nous avons :

b) Démontrer une égalité matricielle par récurrence

Soit la propriété :

Initialisation : d’une part, par convention,

Notez bien

est la matrice identité d’ordre 3.

D’autre part,

La propriété est donc vraie.

Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un entier naturel . Démontrons alors que la propriété est vraie En effet, nous avons :

(hypothèse de récurrence et définition de )

La proposition est donc vraie.

Conclusion : du principe de récurrence, nous en déduisons que pour tout entier naturel,

>4. a) Établir une relation

Soit un entier naturel.

D’après l’énoncé, , et . Par conséquent,

De plus, d’une part, (question 3. a)), soit :

(question 3. b))

.

D’autre part, par définition,

Par identification, nous en concluons que .

b) Déterminer une limite

Comme , alors . De même, comme , alors . Par différence et produit, nous avons alors La suite converge donc vers 0.

Remarque. L’interprétation de cette limite est la suivante : « plus les jours passent, plus la proportion d’individus malades dans la population étudiée se rapproche de 0 ».

c) Comprendre et compléter un algorithme

D’après l’énoncé, l’algorithme donné compare les termes successifs de la suite , proportion d’individus malades dans la population. D’après la question 4. a), pour tout entier naturel Par suite, nous devons affecter à la variablela valeur.

L’objectif de l’algorithme étant de déterminer le moment où la proportion d’individus malades est à son maximum (pic épidémique), en sortie, il faut afficher.

Tableau complété

 

Test  ?

Après le 7e passage dans la boucle Tant que

7

0,1628

0,6634

0,1678

0,1652

Vrai

Après le 8e passage éventuel dans la boucle Tant que

8

0,1652

0,6302

0,1342

0,1653

Vrai

Après le 9e passage éventuel dans la boucle Tant que

9

0,1653

0,5987

0,1074

0,1638

Faux

 

Notez bien

L’énoncé comportait une erreur dans le tableau à compléter : c et d au lieu de x et y. Ne vous laissez pas impressionner et rétablissez les bonnes lettres.

Nous en concluons que 9 jours après le début de l’expérience, le pic épidémique est atteint. La proportion d’individus malades est d’environ 16,53 %.