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À propos des éclipses solaires

Pondichéry • Mai 2018

Exercice 2 • 11 points • 1 h 50

À propos des éclipses solaires

Les thèmes clés

Mécanique céleste • Satellite • Transferts quantiques d'énergie Loi de Wien

 

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

1. L'éclipse du 21 août 2017 1 h 10

Les Américains l'ont baptisée The Great American Eclipse (la grande éclipse américaine). Le 21 août 2017, l'ombre de la Lune traversa les États-Unis du Pacifique jusqu'en Atlantique. Outre-Atlantique, l'événement a soulevé pendant plusieurs mois un enthousiasme extraordinaire.

D'après www.sciencesetavenir.fr

Données

Constante de gravitation universelle : = 6,67 × 10–11 m3 ∙ kg–1 ∙ s–2.

Masse de la Lune : ML = 7,34 × 1022 kg.

Masse de la Terre : MT = 5,97 × 1024 kg.

Diamètre de la Lune supposée sphérique : DL = 3 474 km.

Diamètre de la Terre supposée sphérique : DT = 12 742 km.

Distance moyenne du centre de la Lune au centre de la Terre : = 3,84 × 105 km.

Latitudes et longitudes de quelques villes américaines :

Salem

Columbia

Charleston

Latitude

44,94° Nord

38,94° Nord

32,78° Nord

Longitude

123,04° Ouest

92,33° Ouest

79,93° Ouest

1 Rotation de la Terre

Dans le référentiel géocentrique, la Terre accomplit un tour sur elle-même en environ 23 heures et 56 minutes (durée du jour sidéral). On se place dans ce référentiel pour répondre aux questions ci-après.

1. Quelle est la nature du mouvement d'un point situé sur l'équateur ? (0,5 point)

2. Montrer que la valeur de la vitesse d'un point situé sur l'équateur est égale à 465 m ∙ s–1. (0,75 point)

3. La vitesse V, en m ∙ s–1, d'un point de la surface de la Terre dépend de sa latitude α selon la relation :

V = 465 × cos(α)

Quelle est la vitesse d'un point de la ville de Columbia ? (0,25 point)

2 Vitesse de l'ombre de la Lune sur la Terre

pchT_1805_12_02C_01

Trajectoire, heures de passage (temps universel) et durée maximale de l'éclipse

D'après Wolfgang Strickling
https://commons.wikimedia.org/

1. En exploitant la carte ci-dessus, montrer que dans le référentiel terrestre la vitesse moyenne VO de l'ombre de la Lune sur la Terre vaut environ 750 m ∙ s–1. (1 point)

2. Compte tenu de la durée maximale de l'éclipse en un lieu de son passage, estimer le diamètre de l'ombre de la Lune sur la Terre lors de l'éclipse. Cette valeur est-elle pertinente au regard de la carte ci-dessus ? (1 point)

3 Mouvement de la Lune autour de la Terre

1. Pourquoi ne tient-on pas compte du phénomène de diffraction des rayons lumineux par la Lune ? L'argumentation s'appuiera sur des valeurs numériques. (0,5 point)

pchT_1805_12_02C_02

Schéma simplifié des positions de la Terre
et de la Lune lors d'une éclipse

2. On se place maintenant dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. On étudie le système {Lune}, sans tenir compte de l'influence du Soleil.

Faire un schéma sur lequel apparaîtront la Terre ainsi que la Lune et son orbite, supposée circulaire. Représenter le vecteur FT/L représentant la force modélisant l'interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune, ainsi que le vecteur unitaire u, orienté depuis la Lune vers la Terre. (0,5 point)

3. Donner l'expression vectorielle de FT/L. (0,5 point)

4. Établir l'expression vectorielle de l'accélération de la Lune, en fonction de G, MT, d et du vecteur unitaire u. (1 point)

5. Montrer que la vitesse de la Lune sur son orbite s'exprime par la relation : (0,5 point)

V= GMTd

6. Calculer la valeur de cette vitesse. (0,5 point)

2. Étude de la couronne solaire 40 min

Les éclipses de Soleil ont joué un rôle important en astronomie car elles permettent d'étudier la couronne solaire. C'est au cours de l'une d'elles que l'hélium a été découvert.

Données

Célérité de la lumière dans le vide : = 2,998 × 108 m ∙ s–1.

Constante de Planck : = 6,626 × 10–34 J ∙ s.

1 eV = 1,602 × 10–19 J.

Spectre de la couronne solaire :

pchT_1805_12_02C_03

1 Découverte de l'hélium

Le 18 août 1868 l'astronome français Jules Janssen, en observant une éclipse totale de Soleil, découvre par spectroscopie un gaz jusque-là inconnu dans l'atmosphère de cet astre. Il sera appelé hélium par référence au mot grec hélios (soleil).

1. Le spectre donné de la couronne solaire est-il un spectre d'émission ou d'absorption ? Justifier la réponse. (0,5 point)

2. À quel domaine du spectre électromagnétique ce spectre appartient-il ? Justifier la réponse. (0,5 point)

3. Extrait du diagramme énergétique de l'atome d'hélium :

pchT_1805_12_02C_04

La radiation émise par l'hélium, observée dans le spectre de la couronne solaire, a permis son identification. À quelle transition T1, T2 ou T3 correspond-elle ? (0,75 point)

4. Historiquement, cette radiation a été confondue avec celles émises par le sodium de longueurs d'onde : 589,0 nm et 589,6 nm.

L'utilisation d'un spectromètre dont l'incertitude relative est U(λ)λ =103 permet-elle de discerner la radiation émise par l'hélium de celles émises par le sodium ? (0,75 point)

2 Le mystère de la couronne solaire

La couronne solaire est formée par des jets de matière, principalement d'hydrogène et d'hélium, issus de la surface du Soleil.

pchT_1805_12_02C_05

ph © Miloslav Druckmuller, Shaida Habbal, Peter Aniol, Pavel Starha

Couronne solaire photographiée lors de l'éclipse
du 20 mars 2015 par Miloslav Druckmüller

Les astrophysiciens disposent de plusieurs méthodes pour déterminer la température d'un corps dont la loi de Wien et l'élargissement des raies spectrales.

Loi de Wien. Le maximum d'intensité lumineuse d'un corps noir à la température T (K) est obtenu pour la longueur d'onde λmax telle que :

λmax = 2,9×103T (en m)

Élargissement des raies spectrales. La largeur des raies d'émission des éléments contenus dans un corps permet d'évaluer sa température T (K). En effet, du fait de l'agitation thermique, la longueur d'onde d'émission λ0 change légèrement. On montre qu'à mi-hauteur, pour l'élément hydrogène, la largeur d'une raie Δλ est donnée par :

Δλ = 7,2 × 10–7 × λ0 × T

pchT_1805_12_02C_06

Détail du spectre de la raie Hα de l'hydrogène présent dans la couronne solaire

pchT_1805_12_02C_07

Spectre de la surface du Soleil

1. Comparer les températures de la couronne solaire et de la surface du Soleil. (1 point)

2. À quel problème sont confrontés les astrophysiciens dans l'estimation de ces températures ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie 1

1 2. Utilisez la relation V = distancedurée

2 1. Mesurez la distance parcourue par l'ombre entre Columbia et Charleston sur la carte puis utilisez l'échelle donnée en bas à gauche. Puis calculez la durée mise par l'ombre pour faire cette distance à partir de l'heure de passage de l'éclipse.

3. À Charleston, l'éclipse dure 2 min et 37 s. Or cette durée est celle pendant laquelle l'ombre de la Lune passe sur la ville de Charleston. Cette ombre a pour largeur, le diamètre du cercle de l'ombre de la Lune.

Vous avez calculé la vitesse de déplacement de l'ombre à la question précédente donc vous pouvez déduire le diamètre de l'ombre par la relation D = vitesse × durée.

Comparer ensuite ce diamètre à la largeur de la trajectoire de l'ombre sur la carte.

3 1. Le phénomène de diffraction se produit lorsque la dimension de l'obstacle est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de l'onde susceptible d'être diffractée.

3. Ici u et FT/Lsont dans le même sens.

4. Appliquez la deuxième loi de Newton sur la Lune.

Partie 2

1 4. Calculez les incertitudes absolues des longueurs d'onde puis faites les encadrements de la valeur des longueurs d'onde d'émission des raies de sodium et d'hélium.

2 1. Déterminer la longueur d'onde λmax sur le second graphe, c'est-à-dire l'abscisse du maximum d'intensité puis utilisez la loi de Wien pour trouver la température.

Déterminez la largeur de la courbe à l'endroit fléché puis la valeur de la longueur d'onde du maximum pour avoir λ0 puis utilisez la relation donnée sur l'élargissement de la raie de l'hydrogène.

Corrigé

1. L'éclipse du 21 août 2017

1 1. Déterminer la nature d'un mouvement

Un point situé sur l'équateur décrit un cercle autour du centre de la Terre car celle-ci est supposée sphérique d'après l'énoncé. De plus sa vitesse de rotation est constante. Le mouvement est donc circulaire uniforme.

2. Calculer la valeur d'une vitesse

attention !

La relation V = distancedurée n'est valable que pour les mouvements uniformes ou pour calculer une vitesse moyenne lors d'un trajet.

Ce point décrit un cercle de diamètre DT en 23 heures et 56 minutes, c'est-à-dire :

23 × 60 × 60 + 56 × 60 = 86 160 s.

Comme ce mouvement est uniforme, on peut écrire que la vitesse d'un point sur l'équateur est :

V1=distance parcouruedurée du parcours= πDT86 160=465 ms1

3. Calculer la valeur d'une vitesse

attention !

Quand vous utilisez une grandeur trigonométrique, vérifiez que le réglage de votre calculatrice est dans la « bonne » unité d'angle.

D'après l'énoncé, on a la valeur de la latitude α pour Columbia  donc :

V2=465×cos(α)=465×cos(38,94)V2=362 ms1

2 1. Déterminer la valeur d'une vitesse à partir d'une trajectoire

Il nous faut mesurer la distance parcourue par l'ombre de la Lune sur la Terre. Pour cela, nous mesurons la distance entre Columbia et Charleston sur la carte : 2,5 cm.

Or l'échelle de la carte indique la correspondance suivante : 1 cm sur la carte représente 500 km en réalité.

Donc la distance Columbia-Charleston est égale à :

5001×2,5=1250km

Cette distance est effectuée par l'ombre de la Lune en 27 minutes, c'est-à-dire en : 27 × 60 = 1 620 secondes.

pchT_1805_12_02C_09

La vitesse de l'ombre de la Lune sur la Terre est alors :

VO = 12501620=0,772kms1=772ms1750 ms1

Cette vitesse est proche de la valeur à trouver (3 % de différence :772750750 = 0,03).

Remarque : En mesurant la distance Salem-Charleston, le résultat aurait été plus proche de la vitesse donnée. Cependant, la trajectoire de l'ombre n'est clairement pas une ligne droite entre Salem et Charleston donc la distance que parcourt réellement l'ombre est plus grande que celle mesurée en ligne droite. C'est pour cela que nous préférons mesurer la distance entre Columbia et Charleston.

Ne vous inquiétez pas si vous avez fait vos calculs avec la distance Salem-Charleston : le correcteur vous aurait attribué tous les points.

2. Calculer une distance

À chaque endroit où l'éclipse (totale) est visible, on peut estimer que la durée de l'obscurité correspond au passage complet de la Lune devant le Soleil donc au diamètre de l'ombre de la Lune sur la Terre. Or, nous connaissons la vitesse de déplacement de cette ombre ainsi que la durée maximale de cette éclipse : 2 min 38 s = 158 s.

On peut donc estimer le diamètre de l'ombre de la Lune :

DL = VO × Δt = 750 × 158 = 1,19 × 105 m = 119 km

Cette valeur est-elle cohérente avec la largeur du couloir de passage de l'ombre de l'éclipse ?

D'après l'échelle de la carte et la largeur de ce couloir schématisé sur la carte (2 mm), on peut estimer que cette largeur mesure en réalité :

5001×0,2=100 km.

pchT_1805_12_02C_10

Étant donné la faible précision des mesures effectuées sur la carte, on peut conclure que les deux valeurs (119 km et 100 km) sont suffisamment proches pour que le calcul de la dimension de l'ombre à partir de mesures sur la carte soit pertinent au regard du diamètre de l'ombre calculée par les observations sur le terrain.

3 1. Justifier de la présence d'un phénomène

Le phénomène de diffraction se produit lorsque la dimension de l'obstacle est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de l'onde susceptible d'être diffractée.

Ici la longueur d'onde λ de la lumière est d'environ 10–7 m, or la dimension de l'obstacle est celle du diamètre de la Lune c'est-à-dire 106 m. Le rapport entre ces deux longueurs, 1013, est bien trop grand pour devoir tenir compte de la diffraction.

Remarque : La diffraction peut se constater lorsqu'il n'y a que quelques puissances de 10 entre ces deux grandeurs : on l'observe par exemple quand la lumière rencontre un cheveu (l'une est 100 fois plus grande que l'autre). Mais ici, il y a 13 ordres de grandeur de différence ce qui est énorme.

2. Schématiser une situation physique

pchT_1805_12_02C_11

Ici le vecteur unitaire u a été pris comme étant dirigé vers le centre de la Terre donc il est dans le même sens que la force d'attraction de la Terre sur la Lune. Attention ce n'est pas toujours le même sens !

3. Donner l'expression de la force d'interaction gravitationnelle

FT/L=G×ML×MTd2u

4. Déterminer l'accélération d'un système

Appliquons la deuxième loi de Newton à la Lune, en se plaçant dans le référentiel galiléen : dans ce cas, la seule force exercée sur la Lune est la force gravitationnelle FT/L.

attention !

Vous devez toujours avoir un vecteur de chaque côté de l'égalité.

F = dpdt

FT/L = dpdt=d(MLv)dt

Or, la masse ML est constante donc :

FT/L=MLd(v)dt=MLa

D'où :

G×ML×MTd2u=MLa

On a donc :

a=G×MTd2u

5. Déterminer la vitesse d'un satellite

On sait que lors d'un mouvement circulaire uniforme l'accélération est égale à v2rayon de la trajectoire.

remarque

La démonstration faite dans le repère de Frenet est hors programme mais peut, bien sûr, figure sur votre copie.

Donc ici on peut écrire :

VL2d=GMTd2 d'où VL2=GMTd

d'où : VL=GMTd.

6. Calculer une valeur de vitesse

VL=GMTd=6,67×1011×5,97 × 10243,84 × 108=1,02×103ms1

2. Étude de la couronne solaire

1 1. Identifier un spectre lumineux

Il s'agit d'un spectre d'émission car la présence de l'hélium est révélée par un pic intense de plus forte intensité que le « fond » du spectre.

2. Identifier un domaine du spectre électromagnétique

L'abscisse du spectre nous apprend que l'émission est comprise entre 500 nm et 700 nm, il s'agit donc du domaine visible de la lumière.

3. Identifier une transition énergétique

La longueur d'onde d'une radiation d'émission est liée à la différence d'énergie entre les niveaux atomiques de cette transition par la relation :

ΔE=h×cλ=6,626×1034×2,998×108587×109ΔE=3,38×1019J=3,38×10191,602×1019=2,11eV

Cette différence d'énergie ne peut correspondre qu'à la transition T2 puisque :

|3,6271,517| = 2,11 eV

4. Évaluer une incertitude

notez bien

Les incertitudes absolues ne doivent être exprimées qu'avec un seul chiffre significatif et en arrondissant au supérieur.

Calculons l'incertitude absolue sur la longueur d'onde donnée par ce spectromètre. D'après l'énoncé :

U(λ) = 10–3 × λ

Donc, pour la raie d'émission de l'hélium, on a :

U(λhélium= 10–3 × 587,6 = 0,587 = 0,6 nm

Le calcul montre qu'il en est de même pour les deux raies d'émission du sodium :

U(λsodium= 0,6 nm

Cela permet de situer les trois raies d'émission dans les encadrements suivants :

[587,0  588,2] pour l'hélium 

[588,4  589,6] et [589  590,2] pour celles du sodium.

La raie d'émission de l'hélium peut donc être discernée de celles du sodium puisque son encadrement ne chevauche pas l'un des deux autres.

2 1. Déterminer une grandeur à partir d'un modèle

En reprenant les deux méthodes présentées, on peut déterminer deux valeurs de température pour la couronne solaire.

Par la loi de Wien

pchT_1805_12_02C_12

En utilisant le graphe du spectre de la surface du Soleil pour déterminer la longueur d'onde de leur maximum d'intensité lumineuse, on obtient :

λmax = 35,5×0,85 = 0,46 µm = 4,6 × 10–7 m

D'où la valeur de la température :

T = 2,9×1034,6×107=6,3×103K.

Par l'élargissement de la raie Hα de l'hydrogène

pchT_1805_12_02C_13

Dans ce cas, on a :

T = (λ7,2×107×λ0)2

avec Δλ = 1,5×1,23,5=0,51nm et λ0 = 656,3 nm.

D'où : T =  (0,517,2×107×656,3)2 = 1,16 × 106 K.

On peut remarquer que les deux méthodes donnent des valeurs de température assez différentes.

2. Critiquer une loi empirique

Tout d'abord, la détermination précise des longueurs d'onde, notamment celle de λ0, est très difficile. Mais le problème principal est certainement le fait que ces mesures sur la couronne ne peuvent être faites que lors des éclipses solaires pour éviter la trop forte intensité du Soleil en temps ordinaire.

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