À propos des éclipses solaires

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Temps, mouvement et évolution
Type : Exercice | Année : 2018 | Académie : Pondichéry

Pondichéry • Mai 2018

Exercice 2 • 11 points • 1 h 50

À propos des éclipses solaires

Les thèmes clés

Mécanique céleste • Satellite • Transferts quantiques d’énergie Loi de Wien

 

Les deux parties 1 et 2 sont indépendantes.

1. L’éclipse du 21 août 2017 1 h 10

Les Américains l’ont baptisée The Great American Eclipse (la grande éclipse américaine). Le 21 août 2017, l’ombre de la Lune traversa les États-Unis du Pacifique jusqu’en Atlantique. Outre-Atlantique, l’événement a soulevé pendant plusieurs mois un enthousiasme extraordinaire.

D’après www.sciencesetavenir.fr

Données

Constante de gravitation universelle : = 6,67 × 10–11 m3 ∙ kg–1 ∙ s–2.

Masse de la Lune : ML = 7,34 × 1022 kg.

Masse de la Terre : MT = 5,97 × 1024 kg.

Diamètre de la Lune supposée sphérique : DL = 3 474 km.

Diamètre de la Terre supposée sphérique : DT = 12 742 km.

Distance moyenne du centre de la Lune au centre de la Terre : = 3,84 × 105 km.

Latitudes et longitudes de quelques villes américaines :

Salem

Columbia

Charleston

Latitude

44,94° Nord

38,94° Nord

32,78° Nord

Longitude

123,04° Ouest

92,33° Ouest

79,93° Ouest

1 Rotation de la Terre

Dans le référentiel géocentrique, la Terre accomplit un tour sur elle-même en environ 23 heures et 56 minutes (durée du jour sidéral). On se place dans ce référentiel pour répondre aux questions ci-après.

1. Quelle est la nature du mouvement d’un point situé sur l’équateur ? (0,5 point)

2. Montrer que la valeur de la vitesse d’un point situé sur l’équateur est égale à 465 m ∙ s–1. (0,75 point)

3. La vitesse V, en m ∙ s–1, d’un point de la surface de la Terre dépend de sa latitude α selon la relation :

V = 465 × cos(α)

Quelle est la vitesse d’un point de la ville de Columbia ? (0,25 point)

2 Vitesse de l’ombre de la Lune sur la Terre

pchT_1805_12_02C_01

Trajectoire, heures de passage (temps universel) et durée maximale de l’éclipse

D’après Wolfgang Strickling
https://commons.wikimedia.org/

1. En exploitant la carte ci-dessus, montrer que dans le référentiel terrestre la vitesse moyenne VO de l’ombre de la Lune sur la Terre vaut environ 750 m ∙ s–1. (1 point)

2. Compte tenu de la durée maximale de l’éclipse en un lieu de son passage, estimer le diamètre de l’ombre de la Lune sur la Terre lors de l’éclipse. Cette valeur est-elle pertinente au regard de la carte ci-dessus ? (1 point)

3 Mouvement de la Lune autour de la Terre

1. Pourquoi ne tient-on pas compte du phénomène de diffraction des rayons lumineux par la Lune ? L’argumentation s’appuiera sur des valeurs numériques. (0,5 point)

pchT_1805_12_02C_02

Schéma simplifié des positions de la Terre
et de la Lune lors d’une éclipse

2. On se place maintenant dans le référentiel géocentrique, supposé galiléen. On étudie le système {Lune}, sans tenir compte de l’influence du Soleil.

Faire un schéma sur lequel apparaîtront la Terre ainsi que la Lune et son orbite, supposée circulaire. Représenter le vecteur FT/L représentant la force modélisant l’interaction gravitationnelle exercée par la Terre sur la Lune, ainsi que le vecteur unitaire u, orienté depuis la Lune vers la Terre. (0,5 point)

3. Donner l’expression vectorielle de FT/L. (0,5 point)

4. Établir l’expression vectorielle de l’accélération de la Lune, en fonction de G, MT, d et du vecteur unitaire u. (1 point)

5. Montrer que la vitesse de la Lune sur son orbite s’exprime par la relation : (0,5 point)

V= GMTd

6. Calculer la valeur de cette vitesse. (0,5 point)

2. Étude de la couronne solaire 40 min

Les éclipses de Soleil ont joué un rôle important en astronomie car elles permettent d’étudier la couronne solaire. C’est au cours de l’une d’elles que l’hélium a été découvert.

Données

Célérité de la lumière dans le vide : = 2,998 × 108 m ∙ s–1.

Constante de Planck : = 6,626 × 10–34 J ∙ s.

1 eV = 1,602 × 10–19 J.

Spectre de la couronne solaire :

pchT_1805_12_02C_03

1 Découverte de l’hélium

Le 18 août 1868 l’astronome français Jules Janssen, en observant une éclipse totale de Soleil, découvre par spectroscopie un gaz jusque-là inconnu dans l’atmosphère de cet astre. Il sera appelé hélium par référence au mot grec hélios (soleil).

1. Le spectre donné de la couronne solaire est-il un spectre d’émission ou d’absorption ? Justifier la réponse. (0,5 point)

2. À quel domaine du spectre électromagnétique ce spectre appartient-il ? Justifier la réponse. (0,5 point)

3. Extrait du diagramme énergétique de l’atome d’hélium :

pchT_1805_12_02C_04

La radiation émise par l’hélium, observée dans le spectre de la couronne solaire, a permis son identification. À quelle transition T1, T2 ou T3 correspond-elle ? (0,75 point)

4. Historiquement, cette radiation a été confondue avec celles émises par le sodium de longueurs d’onde : 589,0 nm et 589,6 nm.

L’utilisation d’un spectromètre dont l’incertitude relative est U(λ)λ =103 permet-elle de discerner la radiation émise par l’hélium de celles émises par le sodium ? (0,75 point)

2 Le mystère de la couronne solaire

La couronne solaire est formée par des jets de matière, principalement d’hydrogène et d’hélium, issus de la surface du Soleil.

pchT_1805_12_02C_05

ph © Miloslav Druckmuller, Shaida Habbal, Peter Aniol, Pavel Starha

Couronne solaire photographiée lors de l’éclipse
du 20 mars 2015 par Miloslav Druckmüller

Les astrophysiciens disposent de plusieurs méthodes pour déterminer la température d’un corps dont la loi de Wien et l’élargissement des raies spectrales.

Loi de Wien. Le maximum d’intensité lumineuse d’un corps noir à la température T (K) est obtenu pour la longueur d’onde λmax telle que :

λmax = 2,9×103T (en m)

Élargissement des raies spectrales. La largeur des raies d’émission des éléments contenus dans un corps permet d’évaluer sa température T (K). En effet, du fait de l’agitation thermique, la longueur d’onde d’émission λ0 change légèrement. On montre qu’à mi-hauteur, pour l’élément hydrogène, la largeur d’une raie Δλ est donnée par :

Δλ = 7,2 × 10–7 × λ0 × T

pchT_1805_12_02C_06

Détail du spectre de la raie Hα de l’hydrogène présent dans la couronne solaire

pchT_1805_12_02C_07

Spectre de la surface du Soleil

1. Comparer les températures de la couronne solaire et de la surface du Soleil. (1 point)

2. À quel problème sont confrontés les astrophysiciens dans l’estimation de ces températures ? (0,5 point)

Les clés du sujet

Partie 1

1 2. Utilisez la relation V = distancedurée

2 1. Mesurez la distance parcourue par l’ombre entre Columbia et Charleston sur la carte puis utilisez l’échelle donnée en bas à gauche. Puis calculez la durée mise par l’ombre pour faire cette distance à partir de l’heure de passage de l’éclipse.

3. À Charleston, l’éclipse dure 2 min et 37 s. Or cette durée est celle pendant laquelle l’ombre de la Lune passe sur la ville de Charleston. Cette ombre a pour largeur, le diamètre du cercle de l’ombre de la Lune.

Vous avez calculé la vitesse de déplacement de l’ombre à la question précédente donc vous pouvez déduire le diamètre de l’ombre par la relation D = vitesse × durée.

Comparer ensuite ce diamètre à la largeur de la trajectoire de l’ombre sur la carte.

3 1. Le phénomène de diffraction se produit lorsque la dimension de l’obstacle est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde de l’onde susceptible d’être diffractée.

3. Ici u et FT/Lsont dans le même sens.

4. Appliquez la deuxième loi de Newton sur la Lune.

Partie 2

1 4. Calculez les incertitudes absolues des longueurs d’onde puis faites les encadrements de la valeur des longueurs d’onde d’émission des raies de sodium et d’hélium.

2 1. Déterminer la longueur d’onde λmax sur le second graphe, c’est-à-dire l’abscisse du maximum d’intensité puis utilisez la loi de Wien pour trouver la température.

Déterminez la largeur de la courbe à l’endroit fléché puis la valeur de la longueur d’onde du maximum pour avoir λ0 puis utilisez la relation donnée sur l’élargissement de la raie de l’hydrogène.