▶ 1. Établir les équations littérales de l’accélération

Le système étudié est le centre de masse G du crapaud et on effectue cette étude dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Puisque l’énoncé suggère de négliger « les frottements liés à l’action de l’air », le poids du crapaud est la seule force appliquée sur le système. Cette force à distance, appliquée à son centre de gravité, s’écrit $\overrightarrow{P}$ = m $\overrightarrow{g}$.

C’est donc une force verticale, descendante et de valeur mg.

D’après la seconde loi de Newton, Σ$\overrightarrow{f}$ = m $\overrightarrow{a}$, on peut donc écrire :

$\overrightarrow{P}$ = m $\overrightarrow{g}$ = m $\overrightarrow{a}$ d’où $\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{g}$.

Projetons cette relation sur les deux axes Ox et Oz.

Les composantes du vecteur champ de pesanteur sont $\overrightarrow{g}$ $\left\{\begin{array}{c}0\\ -g\end{array}\right\}$ car l’axe vertical Oz représenté sur le sujet est ascendant (vers le haut).

Les composantes du vecteur accélération $\overrightarrow{a_{\text{G}}}$ sont donc : $\overrightarrow{a_{\text{G}}}\left\{\begin{array}{c}{a}_{\text{x}}=0\\ a_{\text{z}}=-g\end{array}\right\}$.

▶ 2. Déterminer les composantes de la vitesse

L’accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps. Nous pouvons donc intégrer les relations précédentes pour retrouver les composantes de la vitesse du centre de masse du crapaud.

$\left\{\begin{array}{c}{a}_{\text{x}}=0\\ a_{\text{z}}=-g\end{array}\right.$ donne, par intégration :

$\left\{\begin{array}{c}{v}_{\text{x}}=C_1\\ v_{\text{z}}=-gt+C_2\end{array}\right.$ dans lesquelles C₁ et C₂ sont des constantes.

Pour déterminer C₁ et C₂, nous utilisons le fait que, à t = 0, la vitesse était égale à $\overrightarrow{v_0}$ = $\left\{\begin{array}{c}{v}_0 \text{cos}\text{α}\\ v_0 \text{sin}\text{α}\end{array}\right.$.

Par identification, cela implique que C₁ = $v_0 \text{cos}\text{α}$ et C₂ = $v_0 \text{sin}\text{α}$.

D’où, les équations horaires de la vitesse : $\overrightarrow{v_{\text{G}}}\left\{\begin{array}{c}{v}_{\text{x}}\left(t\right)=v_0 \text{cos}\text{α}\\ v_{\text{z}}\left(t\right)=-gt+v_0 \text{sin}\text{α}\end{array}\right\}$.

▶ 3. Déterminer les équations horaires du mouvement

Puisque la vitesse est la dérivée de la position, une seconde intégration nous permet d’obtenir les équations horaires de la position du centre de masse du crapaud :

$\frac{\text{d}\overrightarrow{\text{OG}}}{\text{d}t}=\overrightarrow{v_{\text{G}}}$ donc $\overrightarrow{\text{OG}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=v_0 \text{cos}\text{α} t+C_3\\ z\left(t\right)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_0 \text{sin}\text{α} t+C_4\end{array}\right\}$.

Pour déterminer les constantes C₃ et C₄, on utilise la position à l’instant initial : $\left(\begin{array}{c}x\left(0\right)=0\\ z\left(0\right)=0\end{array}\right)$. Par identification : C₃ = C₄ = 0.

Les équations horaires de la position sont donc :

$\overrightarrow{\text{OG}}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=v_0 \text{cos}\text{α} t\\ z\left(t\right)=-\frac{1}{2}g{t}^2+ v_0 \text{sin}\text{α} t\end{array}\right\}$.

▶ 4. Exprimer littéralement une durée de vol

Pour calculer la durée du saut du crapaud, il faut déterminer l’instant supérieur à t = 0, nommé t_saut, auquel le crapaud retombe sur le sol.

À cet instant, le crapaud est à l’altitude z = 0.

L’instant t_saut vérifie donc l’égalité suivante :

$z\left({\text{t}}_{\text{saut}}\right)$ = $-\frac{1}{2}g{t}_{\text{saut}}^2+v_0\text{ sin}\text{α}{\text{ t}}_{\text{saut}}$ = 0.

D’où : $t_{\text{saut}}=\frac{2 v_0 \text{sin}\text{α}}{g}$.

▶ 5. Utiliser le calcul algébrique

La coordonnée x(t) exprime la distance horizontale parcourue par le crapaud depuis le début du saut. Un saut d’une longueur totale d correspond donc à l’égalité d = x(t_saut) où t_saut est la durée de vol établie à la question précédente.

On peut donc écrire :

$x\left(t_{\text{saut}}\right)=v_0\text{ cos}\text{α}{t}_{saut}=d$ où $t_{\text{saut}}^{}$ = $\frac{2v_0\text{ sin}\text{α}}{g}$.

Ainsi, $d=v_0 \text{cos}\text{α} \frac{2 v_0 \text{sin}\text{α}}{g}$ = 2 $v_0^2 \text{cos}\text{α} \frac{\text{sin}\text{α}}{g}$

donc $v_0^2=\frac{g d}{2 \text{cos}\text{α} \text{sin}\text{α}}$.

On retrouve bien la relation $v_0=\sqrt{\frac{g d}{2 \text{cos}\text{α} \text{sin}\text{α}}}$.

▶ 6. Déterminer une vitesse initiale

La taille moyenne du crapaud étant de 10 cm, le saut maximal aura une longueur de 20 × 10 cm = 200 cm = 2,0 m.

La valeur de la vitesse $v_0$ correspondante est donc :

$v_0$ $= \sqrt{\frac{\mathrm{9,81}\times \mathrm{2,0}}{2\text{ cos}45\text{ sin}45}}$ = 4,4 m · s^–1.

▶ 7. Déterminer la hauteur maximale d’un saut

Avec un angle α = 90°, l’équation horaire donnant l’altitude que nous avons établie à la question 3 devient :

$z\left(t\right)=-\frac{1}{2}g{t}^2+v_{0}t$.

Il s’agit d’une fonction du temps donc pour déterminer son maximum, on peut la dériver par rapport au temps.

On obtient alors :

$\frac{\text{d}z}{\text{d}t}=-gt+v_0$.

Or cette dérivée s’annule à l’instant $t_{\text{M}}$ où le crapaud est à sa hauteur maximale. D’où : $-g{t}_{\text{M}}+v_0=0$ et $t_{\text{M}}=\frac{v_0}{g}$.

La hauteur maximale $z_{\text{max}}$ est donc celle atteinte à cet instant $t_{\text{M}}$ :

$z_{\text{max}}$ = $z\left(t_{\text{M}}\right)$ = $-\frac{1}{2}g{t}_{\text{M}}^2+v_0{t}_M$

= $-\frac{1}{2}g{\left(\frac{v_0}{g}\right)}^2+v_0\frac{v_0}{g}$ = $\frac{v_0^2}{2g}$

▶ 8. Calculer une hauteur maximale atteinte

La hauteur de barrière minimale H_champion correspond à z_max avec une vitesse initiale $v_0= \sqrt{\frac{g d}{2 \text{cos}\text{α} \text{sin}\text{α}}}$ puisque les crapauds ne peuvent sauter plus haut que cette hauteur.

On obtient donc :

$H_{\text{champion}}$ $\begin{array}{c}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{\frac{gd}{2\text{ cos}45\text{ sin}45}}{2g}\\ =\frac{d}{2}=\mathrm{1,0}\text{m}.\end{array}$

▶ 9. Justifier un choix expérimental

Ce sont les crapauds les plus forts qui peuvent atteindre 1 mètre de haut donc il n’est pas nécessaire de poser des barrières aussi hautes.

De plus, dans cette étude nous n’avons pas tenu compte des frottements dus à l’air pendant le saut du crapaud. Ces frottements diminueraient forcément la hauteur maximale atteinte.

Enfin, la hauteur maximale calculée correspond à un saut vertical. Or, pour sauter par-dessus la barrière il faut un saut oblique, ce qui diminue la hauteur atteinte.