Puissance et énergie d’une éolienne

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Annales corrigées
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la notion de fonction
Type : Exercice | Année : 2016 | Académie : Inédit


Sujet inédit • Données, fonctions

Exercice • 8 points

Puissance et énergie d’une éolienne

Une éolienne est un dispositif composé de pales en rotation qui transforme l’énergie du vent en électricité.

Voici une courbe donnant la puissance électrique fournie par une éolienne en fonction de la vitesse du vent.

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▶ 1. À partir de quelle vitesse du vent l’éolienne délivre-t-elle une puissance non nulle ?

▶ 2. À partir de quelle vitesse du vent la puissance délivrée n’augmente-t-elle plus ? Convertir cette vitesse en km/h.

▶ 3. À partir de quelle vitesse du vent la puissance délivrée retombe-t-elle à zéro ? Convertir cette vitesse en km/h.

▶ 4. Pour quelle vitesse du vent l’éolienne délivre-t-elle une puissance de 550 kW ?

Laisser apparentes les traces de lecture sur le graphique à rendre avec la copie.

▶ 5. Quelle puissance une éolienne délivre-t-elle pour un vent de 8 m/s ?

Laisser apparentes les traces de lecture sur le graphique à rendre avec la copie.

▶ 6. Supposons que la puissance délivrée par l’éolienne soit maintenant de 600 kW.

Pour calculer l’énergie E délivrée par l’éolienne en fonction de la durée de fonctionnement, on utilise la fonction E(t= 600 × tt est la durée en secondes (s), E(t) est l’énergie en kilojoules (kJ).

a) Quelle est la nature de cette fonction ? Justifier.

b) Calculer l’énergie obtenue au bout de 12 s.

c) Calculer l’énergie obtenue au bout de 2 min 25 s.

d) Calculer la durée nécessaire pour obtenir une énergie de 3 000 kJ.

e) Tracer la courbe représentative de cette fonction sur la feuille millimétrée ci-dessous.

Abscisses : 1 cm pour 1 s ; ordonnée : 1 cm pour 600 kJ.

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Les clés du sujet

Points du programme

Lecture d’images et d’antécédents par une fonction • Tracé d’une fonction dans un repère orthogonal • Conversion de vitesses • Recherche et résolution d’équations de degré 1.

Nos coups de pouce

 1. à 4. Lis graphiquement les antécédents des valeurs données dans les questions sur l’axe des abscisses.

 5. Lis graphiquement l’image de 8 par la fonction sur l’axe des ordonnées.

▶ 6. a) Observe l’écriture de la fonction. Que peux-tu en déduire ?

b) Remplace t par 12 dans la formule et effectue le calcul.

c) Commence par convertir 2 min 25 s en secondes puis remplace t par le résultat obtenu.

d) Pour répondre à cette question, tu dois résoudre l’équation E(t) = 3 000.

e) Avec la réponse trouvée à la question 6. a), trace la droite représentative de la fonction E dans un repère orthogonal.

Corrigé

Corrigé

▶ 1. L’éolienne commence à délivrer une puissance non nulle pour un vent d’au moins 4412554-Eqn3b.

▶ 2. À partir de 14 m/s, la puissance délivrée par l’éolienne stagne.

14 m/s = 0,014 km/s. En 1 heure, soit 3 600 s, le vent parcourt 0,014 × 3 600 = 50,4 km.

Donc quand la vitesse du vent atteint 4412554-Eqn3, la puissance de l’éolienne stagne.

Rappel

Pour convertir une vitesse donnée en m/s en km/h, il suffit de multiplier par 3 600 et diviser par 1 000.

▶ 3. À partir de 25 m/s, la puissance de l’éolienne retombe à zéro.

25 m/s = 0,025 km/s et 0,025 × 3 600 = 90.

Donc la puissance de l’éolienne tombe à zéro quand la vitesse du vent dépasse 4412554-Eqn4.

▶ 4. La puissance délivrée par l’éolienne est de 4412554-Eqn5 pour un vent de 4412554-Eqn3c (pointillés verts).

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▶ 5. Pour un vent de 8 m/s, la puissance délivrée par l’éolienne est de 4412554-Eqn6 (pointillés bleus).

▶ 6. a) La fonction E est linéaire car elle est du type E(t) = a × t.

b) E(12) = 600 × 12 = 7 200 kJ. L’énergie délivrée pendant 12 s est de 4412554-Eqn7.

c) 2 min 25 s = 145 s.

Donc E(145) = 600 × 145 = 87 000 kJ.

L’énergie délivrée pendant 2 min 25 s est de 4412554-Eqn8.

d) Il faut résoudre l’équation du premier degré E(t) = 3 000. On obtient :

600 × t = 3 000

t = 4412554-Eqn1.

Donc pour obtenir une énergie de 3 000 kJ, l’éolienne doit fonctionner pendant 5 secondes.

e) E est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est une droite passant par l’origine. La question 6. d) nous informe que le point de coordonnées (5 ; 3 000) appartient à la droite.

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