Maths
mat3_1600_00_03C
Utiliser la notion de fonction
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Sujet inédit • Données, fonctions
Exercice • 8 points
Puissance et énergie d'une éolienne
Une éolienne est un dispositif composé de pales en rotation qui transforme l'énergie du vent en électricité.
Voici une courbe donnant la puissance électrique fournie par une éolienne en fonction de la vitesse du vent.
▶ 1. À partir de quelle vitesse du vent l'éolienne délivre-t-elle une puissance non nulle ?
▶ 2. À partir de quelle vitesse du vent la puissance délivrée n'augmente-t-elle plus ? Convertir cette vitesse en km/h.
▶ 3. À partir de quelle vitesse du vent la puissance délivrée retombe-t-elle à zéro ? Convertir cette vitesse en km/h.
▶ 4. Pour quelle vitesse du vent l'éolienne délivre-t-elle une puissance de 550 kW ?
Laisser apparentes les traces de lecture sur le graphique à rendre avec la copie.
▶ 5. Quelle puissance une éolienne délivre-t-elle pour un vent de 8 m/s ?
Laisser apparentes les traces de lecture sur le graphique à rendre avec la copie.
▶ 6. Supposons que la puissance délivrée par l'éolienne soit maintenant de 600 kW.
Pour calculer l'énergie E délivrée par l'éolienne en fonction de la durée de fonctionnement, on utilise la fonction E(t) = 600 × t où t est la durée en secondes (s), E(t) est l'énergie en kilojoules (kJ).
a) Quelle est la nature de cette fonction ? Justifier.
b) Calculer l'énergie obtenue au bout de 12 s.
c) Calculer l'énergie obtenue au bout de 2 min 25 s.
d) Calculer la durée nécessaire pour obtenir une énergie de 3 000 kJ.
e) Tracer la courbe représentative de cette fonction sur la feuille millimétrée ci-dessous.
Abscisses : 1 cm pour 1 s ; ordonnée : 1 cm pour 600 kJ.
Les clés du sujet
Points du programme
Lecture d'images et d'antécédents par une fonction • Tracé d'une fonction dans un repère orthogonal • Conversion de vitesses • Recherche et résolution d'équations de degré 1.
Nos coups de pouce
▶ 1. à 4. Lis graphiquement les antécédents des valeurs données dans les questions sur l'axe des abscisses.
▶ 5. Lis graphiquement l'image de 8 par la fonction sur l'axe des ordonnées.
▶ 6. a) Observe l'écriture de la fonction. Que peux-tu en déduire ?
b) Remplace t par 12 dans la formule et effectue le calcul.
c) Commence par convertir 2 min 25 s en secondes puis remplace t par le résultat obtenu.
d) Pour répondre à cette question, tu dois résoudre l'équation E(t) = 3 000.
e) Avec la réponse trouvée à la question 6. a), trace la droite représentative de la fonction E dans un repère orthogonal.
Corrigé
▶ 1. L'éolienne commence à délivrer une puissance non nulle pour un vent d'au moins 
.
▶ 2. À partir de 14 m/s, la puissance délivrée par l'éolienne stagne.
14 m/s = 0,014 km/s. En 1 heure, soit 3 600 s, le vent parcourt 0,014 × 3 600 = 50,4 km.
Donc quand la vitesse du vent atteint 
, la puissance de l'éolienne stagne.
Rappel
Pour convertir une vitesse donnée en m/s en km/h, il suffit de multiplier par 3 600 et diviser par 1 000.
▶ 3. À partir de 25 m/s, la puissance de l'éolienne retombe à zéro.
25 m/s = 0,025 km/s et 0,025 × 3 600 = 90.
Donc la puissance de l'éolienne tombe à zéro quand la vitesse du vent dépasse 
.
▶ 4. La puissance délivrée par l'éolienne est de 
pour un vent de 
(pointillés verts).
▶ 5. Pour un vent de 8 m/s, la puissance délivrée par l'éolienne est de 
(pointillés bleus).
▶ 6. a) La fonction E est linéaire car elle est du type E(t) = a × t.
b) E(12) = 600 × 12 = 7 200 kJ. L'énergie délivrée pendant 12 s est de 
.
c) 2 min 25 s = 145 s.
Donc E(145) = 600 × 145 = 87 000 kJ.
L'énergie délivrée pendant 2 min 25 s est de 
.
d) Il faut résoudre l'équation du premier degré E(t) = 3 000. On obtient :
600 × t = 3 000
t = 
.
Donc pour obtenir une énergie de 3 000 kJ, l'éolienne doit fonctionner pendant 5 secondes.
e) E est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. La question 6. d) nous informe que le point de coordonnées (5 ; 3 000) appartient à la droite.
