QCM 4 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intégration
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Sujet zéro
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
QCM 4 questions

Analyse • Intégration

Corrigé

24

Ens. spécifique

matT_1200_14_03C

D’après Pondichéry • Avril 2012

Exercice 1 • 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Il est constitué de quatre questions indépendantes. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

>1. La courbe Cg tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [– 8 ; 5]. La droite (AB) tracée sur le graphique est la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse – 2.

On note g′ la fonction dérivée de la fonction g sur l’intervalle [– 8 ; 5].


a) ; b) ; c).

>2. On note G une primitive sur l’intervalle [– 8 ; 5] de la fonction g introduite à la question 1.

a) La fonction G admet un minimum en – 2.

b) La fonction G est décroissante sur l’intervalle [– 4 ; 1].

c) La fonction G est croissante sur l’intervalle [– 8 ; – 2].

>3.  Soit  :

a) ; b) ; c).

>4. Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par :

On note F la primitive de f sur telle que F(– 1) = 1.

a) Pour tout x de , .

b) Pour tout x de , .

c) Pour tout x de , .

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Dérivées usuelles • Nombre dérivé, tangente • Sens de variation • Primitives usuelles • Fonction exponentielle.

Les conseils du correcteur

>  1. Considérez la tangente à la courbe au point d’abscisse – 2.

>  2. Les variations de G dépendent du signe de g.

>  4. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée d’une fonction de la forme eu.

Corrigé

>1. Déterminer un nombre dérivé

Notez bien

Si , c’est-à-dire si la droite (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées, le coefficient directeur de la droite (AB) est .

, nombre dérivé en de la fonction , est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point d’abscisse .

Cette tangente est la droite (AB), qui a pour coefficient directeur , soit .

La bonne réponse est a).

>2. Étudier les variations d’une fonction sur un intervalle

Pour tout appartenant à [– 8 ; 5],

Or pour tout appartenant à [– 8 ; – 2], car les points de Cg d’abscisse comprise entre – 8 et – 2 sont situés au-dessus de l’axe des abscisses et ont donc une ordonnée positive.

En – 2, la fonction G admet un maximum local.

La fonction G n’est pas monotone sur l’intervalle [– 4 ; 1].

La bonne réponse est c).

>3. Calculer une intégrale

Notez bien

D’après les propriétés de la fonction ln, .

Une primitive sur l’intervalle [2 ; 7] de la fonction est la fonction .

D’où .

La bonne réponse est a).

>4. Déterminer la primitive d’une fonction vérifiant une « condition initiale » donnée

Si on pose, pour tout réel , , alors :

et .

Les primitives de sur sont donc toutes les fonctions du type

, où C est une constante.

équivaut à , soit .

D’où , soit  .

La bonne réponse est c).