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QCM de géométrie dans l'espace – 4 questions

Terminale générale Mathématiques L'épreuve écrite

Amérique du Nord, mai 2024 • Jour 1

SPRINT FINAL

62

matT_2405_02_01C

Amérique du Nord, mai 2024 • Jour 1 Exercice 2

QCM de géométrie dans l’espace – 4 questions

45 min

4 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice de géométrie dans l’espace, on se place dans un repère orthonormé. Les droites sont caractérisées par une représentation paramétrique, les plans par une équation cartésienne.

 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les quatre questions sont indépendantes.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (O ; i→, j→, k→).

▶ 1. On considère les points A(1 ; 0 ; 3) et B(4 ; 1 ; 0).

Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

a) x=3+ty=1z=−3+3t avec t ∈ ℝ

b) x=1+4ty=tz=3 avec t ∈ ℝ

c) x=1+3ty=tz=3−3t avec t ∈ ℝ

d) x=4+ty=1z=3−3t avec t ∈ ℝ

On considère la droite (d) de représentation paramétrique x=3+4tx=6tz=4−2t avec t ∈ ℝ.

▶ 2. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite (d) ?

a) M(7 ; 6 ; 6)

b) N(3 ; 6 ; 4)

c) P(4 ; 6 ; –2)

d) R(–3 ; –9 ; 7)

▶ 3. On considère la droite (d′) de représentation paramétrique x=−2+3ky=−1−2kz=1+k avec k ∈ ℝ.

Les droites (d) et (d′) sont :

a) sécantes

b) non coplanaires

c) parallèles

d) confondues

▶ 4. On considère le plan P passant par le point I(2 ; 1 ; 0) et perpendiculaire à la droite (d). Une équation du plan P est :

a) 2x + 3y - z - 7 = 0

b) - x + y - 4z + 1 = 0

c) 4x + 6y - 2z + 9 = 0

d) 2x + y + 1 = 0

 

Les clés du sujet

▶ 1. Regardez, parmi les quatre représentations paramétriques données, laquelle est vérifiée à la fois par les coordonnées de A et celles de B.

▶ 3. Étudiez le parallélisme des deux droites et cherchez un éventuel point commun.

▶ 4. Considérez un vecteur normal au plan P.

▶ 1. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

Réponse c).

Pour le point A, on n’a pas y = 1, ce qui exclut les réponses a) et d) ; ces représentations paramétriques sont celles de droites ne passant pas par A.

Les coordonnées du point A vérifient la représentation paramétrique b), mais les coordonnées de B ne la vérifient pas.

à noter

Une droite de l’espace admet une infinité de représentations paramétriques.

La représentation paramétrique c) est vérifiée à la fois par les coordonnées de A et celles de B ; cette représentation paramétrique est donc une représentation paramétrique de la droite (AB).

▶ 2. Déterminer si un point appartient à une droite donnée

Réponse d).

Pour savoir si le point M appartient à la droite (d), on cherche s’il existe un réel t tel que ses coordonnées puissent s’écrire (3+4t ; 6t ; 4−2t). Pour cela, on résout le système 3+4t=76t=64−2t=6.

Ce système équivaut à t=1t=−1, il n’a donc pas de solution et le point M n’appartient pas à la droite (d).

De même pour N, on résout le système 3+4t=36t=64−2t=4 ; il équivaut à t=0t=1 qui n’a pas de solution donc N n’appartient pas à la droite (d).

Pour P, on résout le système 3+4t=46t=64−2t=−2 ; il équivaut à t=14t=1t=3 qui n’a pas de solution donc P n’appartient pas à la droite (d).

Enfin pour R on résout 3+4t=−36t=−94−2t=7. Ce système a pour solution t=−32, donc le point R appartient à la droite (d).

▶ 3. Étudier la position relative de deux droites de l’espace

Réponse b).

à noter

Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

La droite (d) a pour vecteur directeur u→46−2, la droite (d′) a pour vecteur directeur u′→3−21. 43≠6−2, les coordonnées des vecteurs u→ et u′→ ne sont pas proportionnelles, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, les droites (d) et (d′) ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes ou non coplanaires.

On cherche un éventuel point commun en résolvant le système 3+4t=−2+3k6t=−1−2k4−2t=1+k, qui équivaut à k=3−2t3+4t=−2+3(3−2t)6t=−1−2(3−2t), soit k=3−2t10t=42t=−7. Ce système n’a donc pas de solution, les droites (d) et (d′) n’ont pas de point commun. Puisqu’elles ne sont pas parallèles, les droites (d) et (d′) sont non coplanaires.

▶ 4. Déterminer une équation cartésienne d’un plan

Réponse a).

Le conseil de méthode

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, si un plan a pour équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, alors le vecteur n→abc est un vecteur normal à ce plan, et réciproquement.

Le vecteur u→46−2 est un vecteur directeur de la droite (d), donc u→ est un vecteur normal au plan P.

Parmi les quatre équations proposées, seules deux sont celles de plans de vecteur normal u→. En effet, l’équation b) : - x + y - 4z + 1 = 0 est celle d’un plan de vecteur normal de coordonnées −11−4 non colinéaire à u→, et l’équation d) : 2x + y + 1 = 0 correspond à un plan de vecteur normal de coordonnées 210, également non colinéaire à u→. On peut donc éliminer les réponses b) et d).

L’équation a) : 2x + 3y - z - 7 = 0 est celle d’un plan de vecteur normal n→23−1 ; n→=12u→, donc n→ et u→ sont colinéaires et u→ est également un vecteur normal à P. L’équation c) : 4x + 6y - 2z + 9 = 0 est celle d’un plan de vecteur normal u→.

Les plans définis par les équations a) et c) sont donc perpendiculaires à la droite (d).

à noter

Les coordonnées de I vérifient également l’équation b).

Les coordonnées du point I(2 ; 1 ; 0) vérifient l’équation a) mais pas l’équation c).

C’est donc l’équation a) qui est une équation cartésienne du plan P perpendiculaire à la droite (d) et passant par I.

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