QCM : estimation du nombre de gauchers et rapidité de lecture d'élèves

Merci !

Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Type : Exercice | Année : 2015 | Académie : Amérique du Nord

 

31

Amérique du Nord • Juin 2015

Exercice 1 • 4 points

QCM : estimation du nombre de gauchers et rapidité de lecture d’élèves

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

partie A

Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers. Auparavant, il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française. Une première étude portant sur un échantillon de 4 000 Français révèle que l’on dénombre 484 gauchers.

 1. Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la proportion de gauchers dans la population française est (les bornes ont été arrondies à 4050616-Eqn1) :

a) 4050616-Eqn2

b) 4050616-Eqn3

c) 4050616-Eqn4

d) 4050616-Eqn5

 2. La taille 4050616-Eqn6 de l’échantillon que l’on doit choisir afin d’obtenir un intervalle de confiance au niveau 0,95 ayant une amplitude de 0,01 est :

a) 4050616-Eqn7

b) 4050616-Eqn8

c) 4050616-Eqn9

d) 4050616-Eqn10

partie B

Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d’élèves de CE2. Ce test consiste à chronométrer la lecture d’une liste de 20 mots. On a fait passer ce test à un très grand nombre d’élèves de CE2. On appelle 4050616-Eqn11 la variable aléatoire qui donne le temps en secondes mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que 4050616-Eqn12 suit la loi normale d’espérance 4050616-Eqn13 et d’écart-type 4050616-Eqn14

 3. La probabilité 4050616-Eqn15 arrondie au centième est :

a) 0,50

b) 0,68

c) 0,84

d) 0,95

 4. On note 4050616-Eqn16 la durée de lecture vérifiant 4050616-Eqn17. La valeur de 4050616-Eqn18 arrondie à l’entier est :

a) 4050616-Eqn19 s

b) 4050616-Eqn20 s

c) 4050616-Eqn21 s

d) 4050616-Eqn22 s

Les clés du sujet

Durée conseillée : 30 minutes

Les thèmes en jeu

Intervalle de confiance • Loi à densité, loi normale.

Les conseils du correcteur

Partie A

 2. À partir d’un échantillon de taille 4050616-Eqn116, on peut déterminer un intervalle de confiance d’amplitude 4050616-Eqn117.

Partie B

 3. Utilisez un résultat du cours.

 4. Utilisez la calculatrice.

Corrigé

Corrigé

partie A

 1. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95

Notez bien

Si 4050616-Eqn136 est la fréquence d’individus possédant un caractère donné dans un échantillon de taille 4050616-Eqn137, alors un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion d’individus possédant le caractère dans l’ensemble de la population est 4050616-Eqn138

La fréquence 4050616-Eqn139 de gauchers dans l’échantillon étudié est :

4050616-Eqn140.

Un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de gauchers dans la population française est :

4050616-Eqn141,

soit, en arrondissant les bornes à 4050616-Eqn1424050616-Eqn143.

La bonne réponse est c).

Gagnez des points !

On a vu à la question 1. qu’à partir d’un échantillon de taille 4 000, on obtient un intervalle de confiance au niveau 0,95 d’amplitude environ égale à 0,032. Pour obtenir un intervalle de confiance d’amplitude plus petite, on doit donc considérer un échantillon plus grand, c’est-à-dire de taille 4050616-Eqn144 telle que 4050616-Eqn145. Cela permet d’éliminer directement les réponses a) et b).

 2. Déterminer la taille d’un échantillon permettant d’obtenir un intervalle de confiance au niveau 0,95 ayant une amplitude donnée

À partir d’un échantillon de taille 4050616-Eqn146, on obtient un intervalle de confiance au niveau 0,95 d’amplitude 4050616-Eqn147. Cette amplitude est égale à 0,01 si et seulement si :

4050616-Eqn148

La bonne réponse est d).

partie B

Conseil

On sait que, si 4050616-Eqn149 est une variable aléatoire suivant la loi normale d’espérance 4050616-Eqn150 et d’écart-type 4050616-Eqn151, alors :

4050616-Eqn152,

4050616-Eqn153,

4050616-Eqn154.

Si l’on veut déterminer une probabilité du type 4050616-Eqn155 et que l’intervalle 4050616-Eqn156 a pour centre 4050616-Eqn157, il est conseillé de regarder si le rayon de cet intervalle est 4050616-Eqn158, 4050616-Eqn159 ou 4050616-Eqn160.

 3. Déterminer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale

Avec 4050616-Eqn161 et 4050616-Eqn162, on a :

4050616-Eqn163 et 4050616-Eqn164.

Donc 4050616-Eqn165 (arrondie au centième) d’après un résultat du cours.

La bonne réponse est b).

 4. Déterminer une borne d’un intervalle connaissant une probabilité associée à une loi normale

On utilise la calculatrice ; on saisit la probabilité 0,9 donnée et les paramètres de la loi de 4050616-Eqn167.

Sur le graphique ci-dessous, la courbe représente la fonction de densité de probabilité de la loi de 4050616-Eqn168. L’aire du domaine coloré est égale à 0,9.

matT_1506_02_01C_05

La bonne réponse est c).