QCM fonction logarithme népérien

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Fonction logarithme népérien
Type : Exercice | Année : 2012 | Académie : Inédit
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
QCM fonction logarithme népérien

Analyse • Fonction logarithme népérien

Corrigé

19

Ens. spécifique

matT_1200_00_05C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des huit questions, quatre réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse jugée correcte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point.

>1. L’égalité

a) n’est vraie que si est un réel strictement positif.

b) est vraie pour tout réel .

c) n’est jamais vraie.

d) n’est vraie que si est un réel supérieur ou égal à 1.

>2. L’égalité est vraie pour tout réel appartenant à :

a) [0 ; [

b)

c) ]0 ; [

d) ; [

>3. On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. La probabilité d’obtenir au moins une fois pile est :

a)

b)

c)

d)

>4. Soit la fonction définie et dérivable sur , d’expression :

.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d’abscisse 0 est :

a)

b)

c)

d)

>5. On considère l’inéquation . Elle admet pour ensemble de solutions :

a) ]0 : 3]

b) [2 ; 3[

c) [2 ; + [

d) ]0 ; 2]

>6. Soit la fonction définie sur par . Sa courbe représentative

a) admet un point d’inflexion d’abscisse .

b) admet un point d’inflexion d’abscisse .

c) admet deux points d’inflexion.

d) n’admet aucun point d’inflexion.

>7. Soit la fonction définie sur ]1 ; + [ par .

La fonction est :

a) convexe sur ]1 ; + [.

b) concave sur ]1 ; + [.

c) convexe sur ]1 ; 3] et concave sur [3 ; + [.

d) concave sur ]1 ; 3] et convexe sur [3 ; + [.

>8. Soit la fonction définie et dérivable sur ]0 ; + [ d’expression :

Soit la fonction dérivée de sur ]0 ; +[. Alors l’expression de est :

a)

c)

b)

d)

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Nombre dérivé, tangente • Dérivées usuelles • Convexité, point d’inflexion • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien.

Les conseils du correcteur

>  3. Utilisez l’événement contraire. L’événement contraire de « on obtient au moins une fois pile » est « on n’obtient jamais pile », c’est-à-dire « on n’obtient que des face ».

>  4. La tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse a pour équation .

>  5. La fonction ln est définie sur ]0 ; +[ .

>  6. La courbe représentative de la fonction admet un point d’inflexion d’abscisse si et seulement si s’annule et change de signe en .

Corrigé

>1. L’égalité est vraie pour tout réel . En effet, pour tout réel , donc existe.

La bonne réponse est b).

>2. L’égalité est vraie pour tout réel appartenant à ]0 ; ­[. En effet, existe si et seulement si appartient à ]0 ; [.

La bonne réponse est c).

>3. La probabilité de l’événement A « on obtient au moins une fois pile sur les 4 lancers » est .

En effet, l’événement contraire est « on n’obtient pas de pile »,

soit « on n’obtient que des face ».

Puisque les lancers successifs sont indépendants et qu’à chaque lancer la probabilité d’obtenir « face » est égale à (la pièce est équilibrée), on a : , donc P(A) =.

La bonne réponse est b).

>4. Si , alors la tangente au point d’abscisse 0 à la courbe représentative de a pour équation .

En effet, et , car pour tout réel , .

La tangente à la courbe représentative de la fonction au point d’abscisse 0 a donc pour équation .

La bonne réponse est c).

>5. L’ensemble des solutions de l’inéquation est [2 ; 3[.

En effet, la fonction ln est définie sur ]0 ; +[ et si et seulement si , donc équivaut à , soit c’est-à-dire finalement .

La bonne réponse est b).

>6. Si , la courbe représentative de admet un unique point d’inflexion.

En effet, pour tout  : , soit :

Pour tout , , donc est du signe de . s’annule et change de signe en , donc sa courbe représentative admet un point d’inflexion (unique) d’abscisse .

La bonne réponse est a).

Notez bien

Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur I.

>7. Pour tout réel appartenant à  :

Donc pour tout appartenant à et est convexe sur .

La bonne réponse est a).

>8., donc, pour tout ,

La bonne réponse est b).