▶ 1. Déterminer par lecture graphique des propriétés de la dérivée d’une fonction

La réponse a) est fausse : $f^{\prime }(-\mathrm{0,5})$ est le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$_f au point d’abscisse - 0,5. On observe que cette tangente n’est pas parallèle à l’axe des abscisses, son coefficient directeur n’est pas égal à 0.

La réponse b) est fausse : la fonction f n’est pas décroissante sur ]- ∞ ; - 0,5[, donc on n’a pas $f^{\prime }(x)<0$ pour tout x dans ]- ∞ ; - 0,5[.

La réponse d) est fausse : la fonction f n’est pas monotone sur ℝ, donc sa fonction dérivée f′ change de signe sur ℝ.

La réponse c) est exacte : la tangente à $\mathcal{C}$_f au point A d’abscisse 0 est la droite (AB).

En notant (x_A ; y_A) les coordonnées du point A et (x_B ; y_B) les coordonnées du point B, le coefficient directeur de la droite $(\text{AB)}$ est :

$\frac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\frac{20-5}{1-0}=15$.

La tangente à $\mathcal{C}$_f au point A a un coefficient directeur égal à 15, donc $f^{\prime }(0)=15$.

La bonne réponse est c).

▶ 2. Déterminer l’expression d’une fonction

Puisque $\mathcal{C}$_f coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (- 0,5 ; 0), on a $f(-\mathrm{0,5})=0$.

$f(-\mathrm{0,5})=\text{0}\iff (-\mathrm{0,5}a+b){\text{e}}^{-\mathrm{0,5}}=\text{0}\iff -\mathrm{0,5}a+b=0$, car ${\text{e}}^{-\mathrm{0,5}}\ne 0$.

D’où b = 0,5a.

Parmi les quatre réponses proposées, la seule pour laquelle on a b = 0,5a est la réponse a) : a = 10 et b = 5.

On peut vérifier que ce résultat est en accord avec celui de la question précédente. Si $f(x)=(10x+5){\text{e}}^x$ pour tout réel x, alors :

$f^{\prime }(x)={\text{10e}}^x+(10x+5){\text{e}}^x=(10+10x+5){\text{e}}^x=(10x+15){\text{e}}^x$.

D’où $f^{\prime }(0)={\text{15e}}^0=15$, qui est le résultat trouvé à la question précédente.

On peut également vérifier qu’il est en accord avec le graphique.

Si $f(x)=(10x+5){\text{e}}^x$ pour tout réel x, alors $f(0)=5\times {\text{e}}^0=5$, ce qu’on observe sur le graphique car $\mathcal{C}$_f coupe l’axe des ordonnées au point d’ordonnée 5.

La bonne réponse est a).

▶ 3. Étudier la convexité d’une fonction et les éventuels points d’inflexion de sa courbe représentative

$f^{″}(x)=\text{0}\iff (10x+25){\text{ e}}^x=\text{0}\iff \text{10}x+25=0$

car ${\text{e}}^x\ne 0$ pour tout réel x. Donc :

$f^{″}(x)=\text{0}\iff x=-\mathrm{2,5}$.

Par ailleurs, ${\text{e}}^x>0$ pour tout réel x, donc le signe de $f^{″}(x)$ est celui de 10x + 25 :

si x < - 2,5, alors 10x + 25 < 0 et $f^{″}(x)<0$ ;

si x > - 2,5, alors 10x + 25 > 0 et $f^{″}(x)>0$.

f n’est donc ni convexe sur ℝ, ni concave sur ℝ car sa dérivée seconde change de signe, ce qui élimine les réponses a) et b).

On a aussi montré que f″ s’annule et change de signe en - 2,5, donc le point d’abscisse - 2,5, c’est-à-dire le point C, est un point d’inflexion de $\mathcal{C}$_f. C’est le seul point d’inflexion de cette courbe, car l’équation $f^{″}(x)=0$ n’a qu’une seule solution.

La bonne réponse est c).

▶ 4. Déterminer une propriété d’une suite

Les propriétés données des suites (U_n) et (V_n) ne permettent pas de savoir si la suite (U_n) converge ou diverge. On peut le justifier par des contre-exemples.

Soient $U_n=1+{(-1)}^n$ et V_n = 2 pour tout entier naturel n.

Les suites (U_n) et (V_n) vérifient :

pour tout entier naturel n, U_n ≤ V_n ;

$\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{V}_n=2$.

Or la suite (U_n) diverge.

Soient $U_n=2-\frac{1}{n+1}$ et V_n = 2 pour tout entier naturel n.

Les suites (U_n) et (V_n) vérifient :

pour tout entier naturel n, U_n ≤ V_n ;

$\underset{n\to +\text{∞}}{\lim }{V}_n=2$.

Or la suite (U_n) converge vers 2.

Cela exclut les réponses a) et c).

Par ailleurs, avec les propriétés données, on ne peut pas affirmer que pour tout entier naturel n, V_n ≤ 2.

Par exemple, la suite (V_n) de terme général $V_n=2+\frac{1}{n+1}$ converge vers 2, mais ne vérifie pas V_n ≤ 2 pour tout n. La réponse b) est donc fausse également.

Par élimination, il ne reste que la réponse d).

On peut montrer que c’est la bonne réponse.

La suite (V_n) converge vers 2, donc, comme toute suite convergente, elle est majorée.

Il existe donc un réel M tel que, pour tout entier naturel n, V_n ≤ M.

Comme U_n ≤ V_n pour tout entier naturel n, on a également U_n ≤ M pour tout entier naturel n, la suite (U_n) est donc majorée par M.

La bonne réponse est d).