Terminale générale Mathématiques Équations de droites et de plans

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Sujet complet 1 • Exercice 3

matT_2100_07_02C

Sujet spécimen 2021 n° 1 • Exercice 3

QCM géométrie dans l'espace : 5 questions

1 heure

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, présenté sous forme de QCM, il est nécessaire de savoir calculer avec des coordonnées, par exemple pour identifier une représentation paramétrique de droite ou une équation cartésienne de plan. La configuration considérée est une pyramide à base carrée.

Exercice commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

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SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.

Le point I est le centre du carré ABCD.

On suppose que IC = IB = IS = 1.

Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].

▶ 1. Les droites suivantes ne sont pas coplanaires :

a) (DK) et (SD)

b) (AS) et (IC)

c) (AC) et (SB)

d) (LM) et (AD)

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $(I ; \vec{IC}, \vec{IB}, \vec{IS})$ .

Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants :

I(0 ; 0 ; 0) ; A(- 1 ; 0 ; 0) ; B(0 ;1 ; 0) ; C(1 ; 0 ; 0) ; D(0 ; - 1 ; 0) ; S(0 ; 0 ; 1).

▶ 2. Les coordonnées du milieu N de [KL] sont :

a) $(\frac{1}{4}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2})$

b) $(\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}; \frac{1}{2})$

c) $(- \frac{1}{4}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2})$

d) $(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; 1)$

▶ 3. Les coordonnées du vecteur $\vec{AS}$ sont :

a) $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

b) $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

c) $(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix})$

d) $(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})$

▶ 4. Une représentation paramétrique de la droite (AS) est :

a) $\{\begin{matrix} x = - 1 - t \\ y = t \\ z = - t \end{matrix} (t \in ℝ)$

b) $\{\begin{matrix} x = - 1 + 2 t \\ y = 0 \\ z = 1 + 2 t \end{matrix} (t \in ℝ)$

c) $\{\begin{matrix} x = t \\ y = 0 \\ z = 1 + t \end{matrix} (t \in ℝ)$

d) $\{\begin{matrix} x = - 1 - t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{matrix} (t \in ℝ)$

▶ 5. Une équation cartésienne du plan (SCB) est :

a) y + z - 1 = 0

b) x + y + z - 1 = 0

c) x - y + z = 0

d) x + z - 1 = 0

Les clés du sujet

▶ 1. Deux droites coplanaires sont sécantes ou parallèles.

▶ 2. Utilisez les formules qui permettent de calculer les coordonnées du milieu d'un segment connaissant les coordonnées de ses extrémités, en calculant en premier lieu les coordonnées des points K et L.

▶ 4. Le vecteur $\vec{AS}$ , dont les coordonnées ont été déterminées à la question 3, est un vecteur directeur de la droite (AS).

▶ 5. Les coordonnées des points S, C et B vérifient l'équation du plan (SCB).

▶ 1. Déterminer si des droites sont coplanaires ou non

Réponse c)

Les droites (AC) et (SB) ne sont pas coplanaires ; en effet, si elles étaient coplanaires, le point S appartiendrait au plan (ABC), ce qui est contraire à la définition d'une pyramide.

Les droites (DK) et (SD) sont coplanaires car confondues ; les points D, S et K sont alignés.

Les droites (AS) et (IC) sont coplanaires, toutes deux contenues dans le plan (ASC).

Les droites (LM) et (AD) sont coplanaires car elles sont parallèles (toutes deux parallèles à la droite (BC)).

▶ 2. Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

rappel

Si les points A et B ont pour coordonnées (x_A ; y_A; z_A) et (x_B ; y_B ; z_B), alors le milieu du segment [AB] a pour coordonnées $(\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

Réponse b)

K est le milieu de [SD], donc il a pour coordonnées $(0; - \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

L est le milieu de [SC] donc ses coordonnées sont $(\frac{1}{2}; 0; \frac{1}{2})$ .

On en déduit que le milieu N de [KL] a pour coordonnées $(\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}; \frac{1}{2})$ .

▶ 3. Calculer les coordonnées d'un vecteur

rappel

Si les points A et B ont pour coordonnées (x_A ; y_A; z_A) et (x_B ; y_B ; z_B), alors le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

Réponse b)

Connaissant les coordonnées des points A et S, on calcule celles du vecteur $\vec{AS}$ :

$\vec{AS}$ a pour coordonnées $(0 - (- 1); 0 - 0; 1 - 0)$ soit (1 ; 0 ; 1).

▶ 4. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

Réponse c)

Parmi les quatre représentations paramétriques proposées, seules la 2^e et la 3^e correspondent à des droites de vecteur directeur $\vec{AS}$ ; on peut donc éliminer les réponses a) et d).

Il n'existe aucune valeur du réel t permettant d'obtenir les coordonnées de A et de S à partir des égalités de la représentation b).

Par exemple, pour A, le système $\{\begin{cases} - 1 + 2 t = - 1 \\ 1 + 2 t = 0 \end{cases}$

n'a pas de solution, la représentation paramétrique donnée est celle d'une droite ne passant pas par le point A.

Avec les mêmes calculs à partir de la représentation c), on trouve t = 0 pour le point S, t = - 1 pour le point A. La représentation c) est celle d'une droite passant par A et S.

▶ 5. Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Réponse b)

Parmi les quatre équations données, la seule vérifiée simultanément par les coordonnées des points S, C et B est l'équation $x + y + z - 1 = 0$ .

Chacune des trois autres équations n'est pas vérifiée par les coordonnées de l'un au moins des trois points S, B ou C.

QCM géométrie dans l'espace : 5 questions

Les clés du sujet

▶ 1. Déterminer si des droites sont coplanaires ou non

▶ 2. Calculer les coordonnées du milieu d'un segment

rappel

▶ 3. Calculer les coordonnées d'un vecteur

rappel

▶ 4. Déterminer une représentation paramétrique d'une droite

▶ 5. Déterminer une équation cartésienne d'un plan

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