QCM géométrie dans un cube

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Droites et plans de l'espace
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Antilles, Guyane
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
QCM géométrie dans un cube
 
 

Géométrie dans l'espace

Corrigé

27

Ens. spécifique

matT_1306_04_08C

 

Antilles, Guyane • Juin 2013

Exercice 1 • 5 points


 

Description de la figure dans l’espace muni du repère orthonormé  :

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1 ;

on appelle P le plan (AFH) ;

le point I est le milieu du segment [AE] ;

le point J est le milieu du segment [BC] ;

le point K est le milieu du segment [HF] ;

le point L est le point d’intersection de la

droite (EC) et du plan P.

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.

> 1. a) Les droites (IJ) et (EC) sont strictement parallèles.

b) Les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires.

c) Les droites (IJ) et (EC) sont sécantes.

d) Les droites (IJ) et (EC) sont confondues.

> 2. a)  Le produit scalaire est égal à 0.

b) Le produit scalaire est égal à (− 1).

c) Le produit scalaire est égal à 1.

d) Le produit scalaire est égal à 2.

> 3. Dans le repère orthonormé  :

a) le plan P a pour équation cartésienne : x + y + z −1 = 0.

b) le plan P a pour équation cartésienne : x − y + z = 0.

c) le plan P a pour équation cartésienne : − x + y + z = 0.

d) le plan P a pour équation cartésienne : x + y − z = 0.

> 4. a)  est un vecteur normal au plan P.

b)  est un vecteur normal au plan P.

c)  est un vecteur normal au plan P.

d)  est un vecteur normal au plan P.

> 5. a) 

b) 

c) 

d) .

Durée conseillée : 60 min.

Les thèmes clés

Équations de plans • Calcul vectoriel dans l’espace • Positions relatives de droites.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Positions relatives de deux droites  E24a  → 1.
  • Équation cartésienne d’un plan  E33c  → 1. et 3.
  • Produit scalaire  E31c  → 2.
  • Vecteur normal à un plan  E33a • E33c  → 4.
  • Vecteurs colinéaires  E27  → 4.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30  → 5.

Nos coups de pouce

>3. Raisonnez par élimination en utilisant qu’un point appartient à un plan si ses coordonnées vérifient une équation cartésienne de ce plan.

>5. Déterminez une représentation paramétrique de la droite (EC). Déterminez les coordonnées du point L qui appartient à la droite (EC) et au plan (AFH). Exprimez en fonction de .

Corrigé

> 1. Démontrer que des droites ne sont pas coplanaires

  • Méthode 1
  • Comme le point I appartient à la droite (AE), le point I appartient au plan (AEC).
  • Le point J appartient à la droite (BC). Or B n’appartient pas au plan (AEC) et par suite, la droite (BC) n’est pas incluse dans le plan (AEC). Le point J, milieu de [BC], distinct du point C, n’appartient donc pas au plan (AEC).
  • Par les deux points précédents, nous en concluons que les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires.
  • Méthode 2
  • Une équation cartésienne du plan (AEC) est : où et sont des nombres réels à déterminer.

Comme A appartient à ce plan, Donc

Comme E appartient à ce plan, Donc

Comme C appartient à ce plan, Donc

  • En prenant une équation cartésienne du plan (AEC) est :
  • Le point J de coordonnées n’appartient pas au plan (AEC) : mais le point I appartient à ce plan.
  • Par les deux points précédents, nous en concluons que les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires.

La réponse exacte est la réponse b).

> 2. Calculer un produit scalaire

  • .

La réponse exacte est la réponse c).

> 3. Déterminer une équation cartésienne d’un plan

  • Le point A de coordonnées appartient au plan (AFH).

Or La réponse a) n’est pas possible.

  • Le point F de coordonnées appartient au plan (AFH).

Or La réponse b) n’est pas possible.

  • Le point H de coordonnées appartient au plan (AFH).

Or La réponse c) n’est pas possible.

  • La réponse exacte est la réponse d).

> 4. Identifier un vecteur normal à un plan

D’après la question précédente, le plan (AFH) a pour équation cartésienne : Alors le vecteur de coordonnées est un vecteur normal à ce plan.

Par suite, le vecteur  et le vecteur  sont égaux.

D’après l’énoncé, L appartient à la droite (EC) : les points E, C et L sont alignés. Les vecteurs et sont donc colinéaires.

Conclusion : le vecteur est un vecteur normal au plan (AFH).

La réponse exacte est la réponse b).

> 5. Établir une égalité vectorielle

  • Le point E de coordonnées appartient à la droite (EC) et le vecteur  de coordonnées est un vecteur directeur de cette droite. Par suite, une représentation paramétrique de la droite (EC) est donnée par le système suivant :

, étant un nombre réel.

  • Le point L appartient à la droite (EC) : il existe donc un nombre réel  tel que :

.

Or ce point appartient au plan (AFH). Ses coordonnées vérifient donc l’équation Nous avons alors : Ainsi, et

La réponse exacte est la réponsed).