Géométrie dans l'espace
Corrigé
27
Ens. spécifique
matT_1306_04_08C
Antilles, Guyane • Juin 2013
Exercice 1 • 5 points
Description de la figure dans l'espace muni du repère orthonormé 
:
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1
on appelle
le point I est le milieu du segment [AE]
le point J est le milieu du segment [BC]
le point K est le milieu du segment [HF]
le point L est le point d'intersection de la
droite (EC) et du plan
est égal à 0.
est égal à (− 1).
est égal à 1.
est égal à 2.
:
est un vecteur normal au plan
est un vecteur normal au plan
est un vecteur normal au plan
est un vecteur normal au plan
.
Durée conseillée : 60 min.
Les thèmes clés
Équations de plans • Calcul vectoriel dans l'espace • Positions relatives de droites.
Les outils dont vous avez besoin
Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d'ouvrage.
- Positions relatives de deux droites
E24 a → 1. - Équation cartésienne d'un plan
E33 c → 1. et 3. - Produit scalaire
E31 c → 2. - Vecteur normal à un plan
E33 a • E33 c → 4. - Vecteurs colinéaires
E27 → 4. - Représentation paramétrique d'une droite
E30 → 5.
Nos coups de pouce
en fonction de 
.
> 1. Démontrer que des droites ne sont pas coplanaires
- Méthode 1
- Comme le point I appartient à la droite (AE), le point I appartient au plan (AEC).
- Le point J appartient à la droite (BC). Or B n'appartient pas au plan (AEC) et par suite, la droite (BC) n'est pas incluse dans le plan (AEC). Le point J, milieu de [BC], distinct du point C, n'appartient donc pas au plan (AEC).
- Par les deux points précédents, nous en concluons que les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires.
- Méthode 2
- Une équation cartésienne du plan (AEC) est :
où 
et 
sont des nombres réels à déterminer.
Comme A appartient à ce plan, 
Donc 
Comme E appartient à ce plan, 
Donc 
Comme C appartient à ce plan, 
Donc 
- En prenant
une équation cartésienne du plan (AEC) est : 
- Le point J de coordonnées
n'appartient pas au plan (AEC) : 
mais le point I 
appartient à ce plan. - Par les deux points précédents, nous en concluons que les droites (IJ) et (EC) sont non coplanaires.
> 2. Calculer un produit scalaire
.
> 3. Déterminer une équation cartésienne d'un plan
- Le point A de coordonnées
appartient au plan (AFH).
Or 
La réponse
- Le point F de coordonnées
appartient au plan (AFH).
Or 
La réponse
- Le point H de coordonnées
appartient au plan (AFH).
Or 
La réponse
La réponse exacte est la réponse d) .
> 4. Identifier un vecteur normal à un plan
D'après la question précédente, le plan (AFH) a pour équation cartésienne : 
Alors le vecteur 
de coordonnées 
est un vecteur normal à ce plan.
Par suite, le vecteur 
et le vecteur 
sont égaux.
D'après l'énoncé, L appartient à la droite (EC) : les points E, C et L sont alignés. Les vecteurs 
et 
sont donc colinéaires.
Conclusion : le vecteur 
est un vecteur normal au plan (AFH).
> 5. Établir une égalité vectorielle
- Le point E de coordonnées
appartient à la droite (EC) et le vecteur 
de coordonnées 
est un vecteur directeur de cette droite. Par suite, une représentation paramétrique de la droite (EC) est donnée par le système suivant :
, 
étant un nombre réel.
- Le point L appartient à la droite (EC) : il existe donc un nombre réel
tel que :
.
Or ce point appartient au plan (AFH). Ses coordonnées vérifient donc l'équation 
Nous avons alors : 
Ainsi, 
et 
Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.