QCM géométrie et nombres complexes

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Nombres complexes et applications
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
QCM géométrie et nombres complexes
 
 

Nombres complexes et applications

Corrigé

24

Ens. spécifique

matT_1306_13_09C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 2 • 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n’ôte pas de point. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

>1. Soit et . La forme exponentielle de est :

a)

b)

c)

d)

>2. L’équation , d’inconnue complexe z, admet :

a) une solution

b) deux solutions

c) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite

d) une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle.

>3. Dans un repère de l’espace, on considère les trois points A(1 ; 2 ; 3), B(− 1 ; 5 ; 4) et C(− 1 ; 0 ; 4). La droite parallèle à la droite (AB) passant par le point C a pour représentation paramétrique :

a),

b),

c),

d),

>4. Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère le plan P passant par le point D(− 1 ; 2 ; 3) et de vecteur normal (3 ; − 5 ; 1), et la droite de représentation paramétrique , .

a) La droite ∆ est perpendiculaire au plan P.

b) La droite ∆ est parallèle au plan P et n’a pas de point commun avec le plan P.

c) La droite ∆ et le plan P sont sécants.

d) La droite ∆ est incluse dans le plan P.

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes clés

Nombres complexes • Géométrie dans l’espace.

Les outils dont vous avez besoin

Les références en rouge renvoient à la boîte à outils en fin d’ouvrage.

  • Forme exponentielle d’un nombre complexe  E21 1.
  • Forme algébrique d’un nombre complexe  E16 • E17 2.
  • Représentation paramétrique d’une droite  E30 3.
  • Vecteurs colinéaires  E27 4.
  • Produit scalaire  E31c • E32a  → 4.

Nos coups de pouce

>4. La proposition a) se teste rapidement en étudiant la colinéarité entre un vecteur directeur de la droite et un vecteur normal à P.

La première partie de la proposition b) se teste rapidement en étudiant l’orthogonalité (avec le produit scalaire) entre un vecteur directeur de et un vecteur normal à P.

Si cette première partie est vraie, on utilise un point de (en prenant t = 0 dans la représentation paramétrique de la droite , on peut considérer le point E de coordonnées par exemple) et on vérifie s’il appartient ou non à P. Cette vérification amène alors à choisir ou la proposition b) ou la proposition d).

Si cette première partie est fausse, cela amène à choisir la proposition c).

Corrigé

>1. Déterminer la forme exponentielle d’un nombre complexe

La bonne réponse est la propositiond).

>2. Résoudre une équation avec les nombres complexes

Soit , il existe des réels a et b tels que z=a + ib.

.

Les solutions de cette équation sont donc les imaginaires purs.

La bonne réponse est la propositionc).

>3. Déterminer une représentation paramétrique d’une droite

La droite parallèle à (AB) et passant par C admet pour vecteur directeur le vecteur

Une représentation paramétrique de la droite parallèle à (AB) passant par C est donc :

. La bonne réponse est donc laa).

>4. Déterminer la position d’une droite par rapport à un plan

La droite admet pour vecteur directeur le vecteur . Le plan P admet pour vecteur normal . Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc la proposition a) est fausse.

On a , donc les vecteurs et sont orthogonaux. Or le point E de coordonnées (– 7 ; 3 ; 5) appartient à mais n’appartient pas à P.

En effet : et .

La bonne réponse est donc la propositionb).