Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet

QCM La fabrique de pièces métalliques

Probabilités et statistiques • Lois à densité

Corrigé

Ens. spécifique

matT_1200_00_14C

Sujet inédit

Exercice • 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, plusieurs réponses sont proposées. Une seule de ces réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse jugée correcte. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Une machine fabrique des pièces métalliques dont l’épaisseur (en cm) peut être modélisée par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1].

Une pièce est acceptée si et seulement si son épaisseur est supérieure à 0,6 cm.

> 1. La probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit acceptée est égale à :

a) 0,6

b) 0,4

c) 0,5

> 2. Une pièce a une épaisseur supérieure à 0,3 cm. La probabilité qu’elle soit acceptée est égale à :

a) 0,3

b) 0,7

Dans les deux questions suivantes, est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite et la courbe représente sa fonction de densité .

> 3. 

Soit l’aire (en unités d’aire) du domaine colorié sur le graphique ci-dessus.

> 4. 

L’aire (en unités d’aire) du domaine colorié sur le graphique ci-dessus est égale à :

> 5.  est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance et d’écart-type notée  ; est la variable centrée réduite associée à , définie par

est égale à :

> 6. Avec les mêmes notations qu’à la question précédente, est égale à  près à :

a) 0,57

b) 0,81

c) 0,68

d) 0,95

> 7.  est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance et d’écart-type notée . La courbe ci-dessous représente sa fonction de densité ; la droite d’équation est axe de symétrie de cette courbe.

Alors :

> 8.  est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 12 et d’écart-type notée .

est égale à  près à :

a) 0,95

b) 0,14

c) 0,72

d) 0,68

Durée conseillée : 35 min.

Les thèmes en jeu

Loi de probabilité • Loi à densité.

Les conseils du correcteur

>  2. Il s’agit d’une probabilité conditionnelle.

>  3. à >  8. Utilisez les propriétés de la loi normale et de sa fonction de densité vues en cours.

Corrigé

> 1. Une pièce est acceptée si et seulement si son épaisseur (en cm) est comprise entre 0,6 et 1. Puisque cette épaisseur peut être modélisée par une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0 ; 1], la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit acceptée est

La bonne réponse est b).

Notez bien

L’intersection des événements et est .

> 2. Si on note la variable aléatoire qui modélise l’épaisseur d’une pièce, la probabilité qu’une pièce d’épaisseur supérieure à 0,3 cm soit acceptée est :

La bonne réponse est c).

> 3. L’aire totale sous la courbe de est égale à 1, et l’axe des ordonnées est axe de symétrie de la courbe, donc l’aire (en unités d’aire) du domaine colorié sur le graphique est supérieure à 0,5.

0,5 représente l’aire (en unités d’aire) de l’ensemble des points de ce domaine d’abscisse négative ou nulle.

La bonne réponse est d).

> 4. L’aire (en unités d’aire) du domaine colorié sur le graphique est  ; en effet, le domaine colorié est l’ensemble des points situés en-dessous de la courbe représentative de la fonction de densité de la variable , et dont l’abscisse est inférieure à 0,3.