Annale corrigée Exercice

QCM probabilités : loi binomiale, tirages dans une urne

Sujet spécimen 2021 n° 2 • Exercice 1

QCM probabilités : loi binomiale, tirages dans une urne

50 min

5 points

Intérêt du sujet • Dans cet exercice, présenté sous forme de QCM, les trois premières questions portent sur une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres donnés. Les deux autres questions concernent les tirages successifs de deux boules dans une urne de composition connue.

 

Exercice commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

Partie A

Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d'un lecteur optique automatique de reconnaissance de l'adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement 97 % des adresses ; le reste du courrier, que l'on qualifiera d'illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.

Cette machine vient d'effectuer la lecture de neuf adresses. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d'adresses illisibles parmi ces neuf adresses.

On admet que X suit la loi binomiale de paramètres n = 9 et p = 0,03.

1. La probabilité qu'aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près, à :

a) 0

b) 1

c) 0,24

d) 0,76

2. La probabilité qu'exactement deux des neuf adresses soient illisibles pour la machine est :

a) 92×0,972×0,037

b) 72×0,972×0,037

c) 92×0,977×0,032

d) 72×0,977×0,032

3. La probabilité qu'au moins une des neuf adresses soit illisible pour la machine est :

a) P(X1)

b) P(X1)

c) P(X2)

d) 1P(X=0)

Partie B

Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher.

On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.

On considère les événements suivants :

V1 : « la première boule tirée est verte » ;

B1 : « la première boule tirée est blanche » ;

V2 : « la seconde boule tirée est verte » ;

B2 : « la seconde boule tirée est blanche ».

1. La probabilité de V2 sachant que V1 est réalisé, notée PV1(V2), est égale à :

a) 58

b) 47

c) 514

d) 2056

2. La probabilité de l'événement V2 est égale à :

a) 58

b) 57

c) 328

d) 97

 

Les clés du sujet

Partie A

1. La probabilité cherchée est P(X = 0).

2. La probabilité cherchée est P(X = 2). Utilisez la formule vue dans le cours pour la loi binomiale.

3. Calculez la probabilité de l'événement contraire.

Partie B

Représentez la situation décrite dans cette partie par un arbre pondéré.

1. La probabilité à calculer est une probabilité conditionnelle.

2. On demande la probabilité que la deuxième boule tirée soit verte ; la première boule peut être verte ou blanche. Utilisez l'arbre construit au début de cette partie.

Partie A

1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Réponse d)

La probabilité qu'aucune adresse soit illisible est P(X = 0), car la variable aléatoire X donne le nombre d'adresses illisibles. P(X=0)=0,9790,76.

2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Réponse c)

D'après le cours, si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors, pour tout entier k tel que 0 ≤ kn, P(X=k)=nk pk (1p)nk.

Ici on a n = 9, p = 0,03 et k = 2.

3. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Réponse d)

L'événement « au moins une des neuf adresses est illisible » est l'événement {X1}.

L'événement contraire est « aucune adresse n'est illisible », c'est-à-dire {X=0}. On a alors P(X1)=1P(X=0).

Le conseil de méthode

Lorsque la définition d'un événement comporte l'expression « au moins un(e) », on passe en général par l'événement contraire pour calculer sa probabilité.

Partie B

La situation peut être représentée par l'arbre suivant :

remarques

Comme les boules sont supposées indiscernables au toucher, il y a équiprobabilité.

Puisqu'il n'y a pas remise de la première boule tirée, l'urne contient 7 boules pour le second tirage.

matT_2100_07_05C_01

1. Déterminer une probabilité conditionnelle

info +

Cette probabilité figure sur l'une des branches de second niveau de l'arbre.

Réponse b)

Si V1 est réalisé, la première boule tirée est verte, donc pour le second tirage, l'urne contient 4 boules vertes et 3 blanches.

Donc PV1(V2)=47.

2. Calculer la probabilité d'un événement

remarque

La réponse d) 97 peut être écartée d'office car 97>1 et une probabilité est un nombre appartenant à l'intervalle [0 ;1].

Réponse a)

P(V2)=P(V1V2)+P(B1V2)

car V1 et B1 forment une partition de l'univers.

D'après l'arbre : P(V2)=58×47+38×57, P(V2)=3556, soit P(V2)=58.

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