Partie A

▶ 1. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Réponse d)

La probabilité qu'aucune adresse soit illisible est P(X = 0), car la variable aléatoire X donne le nombre d'adresses illisibles. $P(X=0)={\mathrm{0,97}}^9\approx \mathrm{0,76}$.

▶ 2. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Réponse c)

D'après le cours, si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors, pour tout entier k tel que 0 ≤ k ≤ n, $P(X=k)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right) p^k {(1-p)}^{n-k}$.

Ici on a n = 9, p = 0,03 et k = 2.

▶ 3. Calculer une probabilité associée à une loi binomiale

Réponse d)

L'événement « au moins une des neuf adresses est illisible » est l'événement $\{X\ge 1\}$.

L'événement contraire est « aucune adresse n'est illisible », c'est-à-dire $\{X=0\}$. On a alors $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$.

Partie B

La situation peut être représentée par l'arbre suivant :

▶ 1. Déterminer une probabilité conditionnelle

Réponse b)

Si V₁ est réalisé, la première boule tirée est verte, donc pour le second tirage, l'urne contient 4 boules vertes et 3 blanches.

Donc $P_{{\text{V}}_1}({\text{V}}_2)=\frac{4}{7}$.

▶ 2. Calculer la probabilité d'un événement

Réponse a)

$P({\text{V}}_2)=P({\text{V}}_1\cap {\text{V}}_2)+P({\text{B}}_1\cap {\text{V}}_2)$

car V₁ et B₁ forment une partition de l'univers.

D'après l'arbre : $P({\text{V}}_2)=\frac{5}{8}\times \frac{4}{7}+\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}$, $P({\text{V}}_2)=\frac{35}{56}$, soit $P({\text{V}}_2)=\frac{5}{8}$.