Algèbre et géométrie • Vecteurs, droites et plans
S’entraîner
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matT_2106_07_00C
France métropolitaine, juin 2021 Exercice 1
QCM sur les droites et plans de l’espace
Intérêt du sujet • Cet exercice aborde des questions élémentaires de géométrie dans l’espace. Il permet de faire le lien entre les équations cartésiennes de plans et les représentations paramétriques de droites, et leurs positions relatives. Il permet également de mettre en œuvre des raisonnements très classiques de géométrie repérée de l’espace.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé .
On considère :
la droite passant par les points A(1 ; 1 ; - 2) et B(- 1 ; 3 ; 2) ;
la droite ′ de représentation paramétrique : avec t ∈ ℝ ;
le plan d’équation cartésienne x + my - 2z + 8 = 0, où m est un nombre réel.
▶ 1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite ′ ?
a) M1(- 1 ; 3 ; - 2)
b) M2(11 ; - 9 ; - 22)
c) M3(- 7 ; 9 ; 2)
d) M4(- 2 ; 3 ; 4)
▶ 2. Un vecteur directeur de la droite ′ est :
a)
b)
c)
d)
▶ 3. Les droites et ′ sont :
a) sécantes
b) strictement parallèles
c) non coplanaires
d) confondues
▶ 4. La valeur du réel m pour laquelle la droite est parallèle au plan est :
a) m = - 1
b) m = 1
c) m = 5
d) m = - 2
Les clés du sujet
▶ 3. Déterminez un vecteur directeur de chacune des deux droites, étudiez la colinéarité de ces deux vecteurs et trouvez les points communs éventuels aux deux droites.
▶ 4. Une droite est parallèle à un plan si, et seulement si, l’un de ses vecteurs directeurs est orthogonal à un vecteur normal au plan.
▶ 1. Déterminer si des points appartiennent à une droite
On regarde pour chacun de ces points s’il existe (ou non) un réel t tel que ses coordonnées s’écrivent (- 4 + 3t ; 6 - 3t ; 8 - 6t).
Les systèmes , et n’ont pas de solution, donc les points M1, M3 et M4 n’appartiennent pas à la droite ′.
Pour M2, on résout . Ce système équivaut à : , il a pour solution t = 5. Donc M2 ∈ ′.
La bonne réponse est b).
▶ 2. Déterminer un vecteur directeur d’une droite
On sait que la droite de représentation paramétrique , t ∈ ℝ, a pour vecteur directeur .
Ici a = 3, b = - 3, c = - 6.
Le vecteur est donc un vecteur directeur de la droite ′.
Les vecteurs ne sont pas colinéaires à , donc ce ne sont pas des vecteurs directeurs de la droite ′.
rappel
Une droite (du plan ou de l’espace) possède une infinité de vecteurs directeurs, qui sont tous colinéaires ; réciproquement, tout vecteur non nul colinéaire à un vecteur directeur d’une droite est aussi un vecteur directeur de cette droite.
La bonne réponse est c).
▶ 3. Étudier la position relative de deux droites
La droite est la droite (AB), elle a pour vecteur directeur .
La droite ′ a pour vecteur directeur .
, donc les vecteurs et sont colinéaires.
rappel
On peut aussi remarquer que les coordonnées de ces deux vecteurs sont proportionnelles.
Les droites et ′ sont donc parallèles, ce qui élimine les réponses a) et c).
On regarde ensuite si le point A(1; 1; - 2) appartient à la droite ′, c’est-à-dire s’il existe un réel t tel que .
Ce système équivaut à , il a pour solution . Donc A ∈ ′.
remarque
On aurait pu montrer de la même manière que B ∈ ′.
Les droites et ′ sont parallèles et ont (au moins) un point commun, donc elles sont confondues.
La bonne réponse est d).
▶ 4. Étudier le parallélisme d’une droite et d’un plan
On sait que le plan d’équation cartésienne ax + by + cz + d = 0 a pour vecteur normal .
Donc le plan a pour vecteur normal .
La droite est parallèle au plan si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux, c’est-à-dire si et seulement si leur produit scalaire est nul.
.
La droite est parallèle au plan si et seulement si m = 5.
La bonne réponse est c).