Annale corrigée Exercice Ancien programme

QCM sur les fonctions

Pondichéry • Avril 2017

Exercice 1 • 4 points • 35 min

QCM sur les fonctions

Les thèmes clés

Dérivée • Point d'inflexion.

 

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chaque question, une réponse est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]0  10] dont la courbe représentative C est donnée ci-dessous dans un repère d'origine O :

matT_1704_12_00C_01

On rappelle que f désigne la fonction dérivée de la fonction f.

1. Le nombre de solutions sur l'intervalle ]0  10] de l'équation f(x)=0 est égal à :

a) 1

b) 2

c) 3

2. Le nombre réel f(7) est :

a) nul

b) strictement positif

c) strictement négatif

3. La fonction f est :

a) croissante sur ]0  10]

b) croissante sur [4  7]

c) décroissante sur [4  7]

4. On admet que pour tout x de l'intervalle ]0  10], on a :

f(x)=lnxx2+1.

La courbe C admet sur cet intervalle un point d'inflexion :

a) d'abscisse 2,1

b) d'abscisse 0,9

c) d'abscisse 2

Les clés du sujet

1. Si f(x)=0, alors la tangente à la courbe C au point d'abscisse x est parallèle à l'axe des abscisses.

2. f(7) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 7.

4. Calculez la dérivée seconde de f.

Corrigé

1. Déterminer par lecture graphique le nombre de solutions d'une équation

Les solutions de l'équation f(x)=0 sont les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. La courbe C possède deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses (en rouge sur le graphique ci-après), donc l'équation f(x)=0 a deux solutions.

La bonne réponse est b).

2. Déterminer un nombre dérivé par lecture graphique

f(7) est le coefficient directeur de la tangente à C au point d'abscisse 7 (tracée en bleu sur le graphique ci-après). Donc f(7)0.

La bonne réponse est c).

Graphique pour les questions 1. et 2.

matT_1704_12_00C_05

3. Déterminer par lecture graphique le sens de variation de la dérivée d'une fonction

notez bien

Il ne faut pas confondre le sens de variation de f avec le sens de variation de f.

Par lecture graphique :

f(4)>0 et f(7)0.

Donc f(4)>f(7).

On en déduit que f n'est pas croissante sur [4  7], donc pas non plus sur ]0  10]. On peut donc éliminer les réponses a) et b).

De plus, sur l'intervalle [4  7], les tangentes à C semblent avoir des coefficients directeurs de plus en plus petits (d'abord positifs, puis négatifs), ce qui signifie que f est décroissante sur [4  7].

La bonne réponse est c).

4. Déterminer l'abscisse d'un point d'inflexion

La fonction f est deux fois dérivable sur ]0  10]. Pour tout x appartenant à cet intervalle :

f(x)=1x12.

Donc f(x)= x=2. D'autre part :

si 0  x  2, alors 1x>12, donc f(x)>0 

si 2  x  10, alors 1x12, donc f(x)0.

Donc f s'annule et change de signe en 2. On en déduit que la courbe C admet un point d'inflexion d'abscisse 2.

La bonne réponse est c).

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