QCM
matT_1611_11_07C
Ens. spécifique
32
Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016
Exercice 1 • 4 points • ⏱ 35 min
QCM sur les fonctions (4 questions)
Les thèmes clés
Fonction exponentielle • Convexité.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
▶ 1. On considère f la fonction définie sur ℝ par
a)
b)
c)
d)
▶ 2. On considère le nombre
a)
b)
c)
d)
▶ 3. On considère g la fonction définie sur ℝ par
La tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0 passe par le point :
a) A(1 5e + 3)
b) B(- 1 5)
c) C(1 13)
d) D(0 3)
▶ 4. On considère h la fonction définie sur ℝ par
a) h est strictement croissante sur ℝ.
b) h est concave sur [0 + ∞[.
c) h est concave sur ℝ.
d) h est convexe sur [0 + ∞[.
Les clés du sujet
▶ 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.
▶ 2. Déterminez une primitive sur [0 1] de la fonction .
▶ 4. Calculez la dérivée et la dérivée seconde de h.
Corrigé
▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction comportant une exponentielle
La fonction f est dérivable sur ℝ en tant que produit de deux fonctions dérivables sur ℝ.
f = uv, avec et .
, avec . , donc .
, donc :
.
La bonne réponse est d).
notez bien
Pour calculer une intégrale, il suffit de connaître une primitive de la fonction sous l'intégrale.
▶ 2. Calculer une intégrale
Si on pose , alors la fonction K définie par est une primitive de k sur [0 1], d'où :
.
La bonne réponse est b).
▶ 3. Déterminer un point appartenant à la tangente en un point donné à la courbe représentative d'une fonction
Soit la courbe représentative de la fonction g et la tangente à au point d'abscisse 0.
a pour équation réduite
Or .
Pour tout réel x, , donc .
Donc a pour équation .
On regarde, pour chacun des quatre points A, B, C et D, si ses coordonnées vérifient l'équation précédente :
, donc A ∉
, donc B ∉
5 × 1 + 8 = 13, donc C ∈
5 × 0 + 8 = 8 ≠ 3, donc D ∉ .
La bonne réponse est c).
▶ 4. Étudier le sens de variation et la convexité d'une fonction sur un intervalle
La fonction h est deux fois dérivable sur ℝ. Pour tout réel x :
et .
, donc n'est pas strictement positive sur ℝ et h n'est pas strictement croissante sur ℝ.
est du signe de x, donc :
.
h est donc convexe sur [0 + ∞[, mais pas sur ℝ.
La bonne réponse est d).