QCM

matT_1611_11_07C

Ens. spécifique

Nouvelle-Calédonie • Novembre 2016

Exercice 1 • 4 points • ⏱ 35 min

QCM sur les fonctions (4 questions)

Les thèmes clés

Fonction exponentielle • Convexité.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

▶ 1. On considère f la fonction définie sur ℝ par $f (x) = (2 x + 3) e^{- x} .$

a) $f^{'} (x) = {2 e}^{- x}$

b) $f^{'} (x) = - {2 e}^{- x}$

c) $f^{'} (x) = (2 x + 5) e^{- x}$

d) $f^{'} (x) = (- 2 x - 1) e^{- x}$

▶ 2. On considère le nombre $I = \int_{0}^{1} ({2 e}^{2 x} + 3) d x .$

a) $I = e^{2} + 3$

b) $I = e^{2} + 2$

c) $I = {2e}^{2} + 3$

d) $I = {2e}^{2} - 2$

▶ 3. On considère g la fonction définie sur ℝ par $g (x) = {5 e}^{x} + 3 .$

La tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0 passe par le point :

a) A(1 5e + 3)

b) B(- 1 5)

c) C(1 13)

d) D(0 3)

▶ 4. On considère h la fonction définie sur ℝ par $h (x) = x^{3} - 6 x + 3 .$

a) h est strictement croissante sur ℝ.

b) h est concave sur [0 + ∞[.

c) h est concave sur ℝ.

d) h est convexe sur [0 + ∞[.

Les clés du sujet

▶ 1. Utilisez la formule permettant de calculer la dérivée du produit de deux fonctions.

▶ 2. Déterminez une primitive sur [0 1] de la fonction $x \mapsto {2 e}^{2 x} + 3$ .

▶ 4. Calculez la dérivée et la dérivée seconde de h.

Corrigé

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction comportant une exponentielle

La fonction f est dérivable sur ℝ en tant que produit de deux fonctions dérivables sur ℝ.

f = uv, avec $u (x) = 2 x + 3$ et $v (x) = e^{- x}$ .

$u^{'} (x) = 2$

$v = e^{w}$ , avec $w (x) = - x$ . $v^{'} = w^{'} e^{w}$ , donc $v^{'} (x) = - e^{- x}$ .

$f^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , donc :

$f^{'} (x) = {2 e}^{- x} + (2 x + 3) \times (- e^{- x})$

$f^{'} (x) = e^{- x} (2 - 2 x - 3)$

$f^{'} (x) = e^{- x} (- 2 x - 1)$ .

La bonne réponse est d).

notez bien

Pour calculer une intégrale, il suffit de connaître une primitive de la fonction sous l'intégrale.

▶ 2. Calculer une intégrale

Si on pose $k (x) = {2 e}^{2 x} + 3$ , alors la fonction K définie par $K (x) = e^{2 x} + 3 x$ est une primitive de k sur [0 1], d'où :

$I = {[e^{2 x} + 3 x]}_{0}^{1}$

$I = (e^{2} + 3) - 1$

$I = e^{2} + 2$ .

La bonne réponse est b).

▶ 3. Déterminer un point appartenant à la tangente en un point donné à la courbe représentative d'une fonction

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction g et $T$ la tangente à $C$ au point d'abscisse 0.

$T$ a pour équation réduite $y = g^{'} (0) x + g (0) .$

Or $g (0) = 5 + 3 = 8$ .

Pour tout réel x, $g^{'} (x) = {5 e}^{x}$ , donc $g^{'} (0) = 5$ .

Donc $T$ a pour équation $y = 5 x + 8$ .

On regarde, pour chacun des quatre points A, B, C et D, si ses coordonnées vérifient l'équation précédente :

$5 \times 1 + 8 = 13 \neq 5 e + 3$ , donc A ∉ $C$

$5 \times (- 1) + 8 = 3 \neq 5$ , donc B ∉ $C$

5 × 1 + 8 = 13, donc C ∈ $C$

5 × 0 + 8 = 8 ≠ 3, donc D ∉ $C$ .

La bonne réponse est c).

▶ 4. Étudier le sens de variation et la convexité d'une fonction sur un intervalle

La fonction h est deux fois dérivable sur ℝ. Pour tout réel x :

$h^{'} (x) = 3 x^{2} - 6$ et $h^{″} (x) = 6 x$ .

$h^{'} (0) = - 6$ , donc $h^{'}$ n'est pas strictement positive sur ℝ et h n'est pas strictement croissante sur ℝ.

$h^{″} (x)$ est du signe de x, donc :

$h^{″} (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 0$ .

h est donc convexe sur [0 + ∞[, mais pas sur ℝ.

La bonne réponse est d).

QCM sur les fonctions (4 questions)

▶ 1. Calculer la dérivée d'une fonction comportant une exponentielle

▶ 2. Calculer une intégrale

▶ 3. Déterminer un point appartenant à la tangente en un point donné à la courbe représentative d'une fonction

▶ 4. Étudier le sens de variation et la convexité d'une fonction sur un intervalle

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