QCM sur les fonctions : 5 questions

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Annales corrigées
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Fonctions exponentielles
Type : Exercice | Année : 2013 | Académie : Polynésie française
 
Unit 1 - | Corpus Sujets - 1 Sujet
 
QCM sur les fonctions : 5 questions
 
 

Analyse • Fonctions exponentielles

Corrigé

14

Ens. spécifique

matT_1306_13_03C

 

Polynésie française • Juin 2013

Exercice 1 • 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Reporter sur le sujet le numéro de la question ainsi que la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction définie sur par 

>1. L’image de par est égale à :

a)

b)

c)

d)

>2. est dérivable sur et on note sa fonction dérivée. Alors pour tout nombre réel , on a :

a)

b)

c)

d)

>3. L’équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction au point d’abscisse 0 est :

a)

b)

c)

d)

>4. La fonction est :

a) concave sur [0 ; 1]

b) concave sur

c) convexe sur

d) convexe sur [0 ; 1]

>5. L’intégrale est égale à :

a) e – 5

b) 5

c)

d)

Durée conseillée : 45 min.

Les thèmes en jeu

Dérivée • Tangente • Fonction exponentielle • Fonction logarithme népérien • Convexité • Primitive.

Les conseils du correcteur

>2. Utilisez la formule de dérivation du produit de deux fonctions.

>4. Calculez la dérivée seconde de et étudiez son signe.

Corrigé

>1. Utiliser les propriétés de la fonction logarithme népérien

 

Notez bien

Pour tout réel  : .

La bonne réponse estd).

>2. Calculer la dérivée d’une fonction comportant une exponentielle

 

Notez bien

La fonction est de la forme . Sa dérivée est

Pour tout réel  : .

La bonne réponse estc).

>3. Déterminer l’équation réduite d’une tangente à la courbe représentative d’une fonction

La tangente à la courbe représentative de au point d’abscisse 0 a pour équation :

.

Or

La courbe de et sa tangente (en rouge) au point d’abscisse 0 sont représentées sur le graphique de la question 5.

La bonne réponse estc).

>4. Étudier la convexité d’une fonction

 

Notez bien

Le point d’abscisse 2 est un point d’inflexion de la courbe représentative de  ; en ce point, la courbe traverse sa tangente (voir graphique ci-après : la tangente au point d’abscisse 2 est représentée en bleu).

La fonction est deux fois dérivable sur . Pour tout réel  :

est du signe de , donc :

  • si
  • si .

est donc concave sur (donc sur [0 ; 1]), convexe sur .

La bonne réponse esta).

>5. Trouver la valeur d’une intégrale

est continue et positive sur , donc l’intégrale est l’aire du domaine délimité par la courbe de , l’axe des abscisses et les droites d’équations  ; ce domaine est colorié sur le ­graphique ci-dessous :


 
 

Info

On peut calculer la valeur exacte de I. D’après le calcul fait à la question 2., pour tout réel  : donc :

.

Il en résulte que la fonction définie sur par est une primitive de sur et que

Graphiquement :

.

On peut aussi montrer que est strictement croissante sur [0 ; 1], donc son maximum sur cet intervalle est , avec, à 10–2 près, . Donc et .

On peut donc écarter les réponses a) (), b) et d).

La bonne réponse estc).