Analyse • Fonction logarithme népérien
Corrigé
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Ens. Spécifique
matT_1306_04_02C
Antilles, Guyane • Juin 2013
Exercice 1 • 5 points
définie sur [0 10]. La tangente à la courbe
Parmi les quatre courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée 
de la fonction 
.
définie sur 
par 
et 
sa fonction dérivée. On a :
de premier terme 
et de raison 
.
La somme 
des douze premiers termes de cette suite est donnée par :
est une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 22 et d'écart-type 3.
Une valeur approchée à 
de la probabilité de l'événement 
est :
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Suite géométrique • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe.
équivaut à 
.
> 1. Déterminer un pourcentage d'augmentation
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 20 % est égal à 1,2. Celui associé à une augmentation de 15 % est 1,15.
Notez bien
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 
% est 
.
Le coefficient multiplicateur global est égal au produit de ces deux coefficients multiplicateurs :
et 1,38 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 38 %.
> 2. Déterminer la courbe représentant la dérivée d'une fonction dont la courbe représentative est donnée
Notez bien
est le coefficient directeur de la tangente à
On observe que la fonction 
est décroissante sur 
, croissante sur 
, décroissante sur 
et 
, avec 
et 
est donc négative sur 
, positive sur 
, négative sur 
, ce qui élimine les courbes 1 et 4. On peut également observer que le point de 
change de sens de variation en 
, avec 
.
De plus, 
sur la courbe 2, le point d'abscisse 5 a une ordonnée approximativement égale à 2, sur la courbe 3, le point d'abscisse 5 a une ordonnée approximativement égale à 1. La seule courbe possible est la courbe 3.
> 3. Calculer la dérivée du quotient de deux fonctions
Pour tout réel 
, 
et 
> 4. Calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
, la somme 
des 
premiers termes de la suite géométrique 
de premier terme 
et de raison 
est :
> 5. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
a pour espérance 
et pour écart-type 3.
D'après le cours, 
et par symétrie :
.
D'où 
.
On peut aussi déterminer à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de 
.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.