Analyse • Fonction logarithme népérien
Corrigé
17
Ens. Spécifique
matT_1306_04_02C
Antilles, Guyane • Juin 2013
Exercice 1 • 5 points
définie sur [0 ; 10]. La tangente à la courbe
Parmi les quatre courbes ci-dessous, déterminer laquelle représente graphiquement la fonction dérivée 
de la fonction 
.
définie sur 
par 
et 
sa fonction dérivée. On a :
de premier terme 
et de raison 
.
La somme 
des douze premiers termes de cette suite est donnée par :
est une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 22 et d’écart-type 3.
Une valeur approchée à 
de la probabilité de l’événement 
est :
Durée conseillée : 45 min.
Les thèmes en jeu
Évolution en pourcentage • Dérivée • Fonction logarithme népérien • Suite géométrique • Loi à densité, loi normale.
Les conseils du correcteur
est le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe.
équivaut à 
.
> 1. Déterminer un pourcentage d’augmentation
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 20 % est égal à 1,2. Celui associé à une augmentation de 15 % est 1,15.
Notez bien
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 
% est 
.
Le coefficient multiplicateur global est égal au produit de ces deux coefficients multiplicateurs :
et 1,38 est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 38 %.
> 2. Déterminer la courbe représentant la dérivée d’une fonction dont la courbe représentative est donnée
Notez bien
est le coefficient directeur de la tangente à
On observe que la fonction 
est décroissante sur 
, croissante sur 
, décroissante sur 
et 
, avec 
et 
; 
est donc négative sur 
, positive sur 
, négative sur 
, ce qui élimine les courbes 1 et 4. On peut également observer que le point de 
change de sens de variation en 
, avec 
.
De plus, 
sur la courbe 2, le point d’abscisse 5 a une ordonnée approximativement égale à 2, sur la courbe 3, le point d’abscisse 5 a une ordonnée approximativement égale à 1. La seule courbe possible est la courbe 3.
> 3. Calculer la dérivée du quotient de deux fonctions
Pour tout réel 
, 
et 
> 4. Calculer la somme des premiers termes d’une suite géométrique
Pour tout entier naturel 
, la somme 
des 
premiers termes de la suite géométrique 
de premier terme 
et de raison 
est :
> 5. Calculer une probabilité associée à une variable aléatoire suivant une loi normale
a pour espérance 
et pour écart-type 3.
D’après le cours, 
et par symétrie :
.
D’où 
.
On peut aussi déterminer à l’aide de la calculatrice une valeur approchée de 
.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.